SOS-MATH

Bonjour

La fonction f est la fonction définie de R+ dans R+ par : f(t) = t^p + pt.

p est un réel strictement positif.

Corrigé : https://www.heberger-image.fr/image/RqkGS

Pourquoi f est dérivable sur "au moins" R+ comme dit le corrigé ?
Pourquoi "au moins" ? On ne peut pas dire qu'elle est dérivable sur R+ ?

Merci bcp

Bonjour
On voit facilement que la fonction est continue et dérivable sur \(]0\,;\,+\infty[\) : c’est lié au domaine de définition de la fonction puissance \(t\longmapsto t^p\).
Si l’exposant \(p\) est positif, on peut la prolonger par continuité en 0 en posant \(f(0)=0\) d’où le fait qu’elle soit déclarée continue sur \(\mathbb{R}^+\)
Et on pourrait faire aussi un prolongement de classe \(\mathcal{C}^1\) en 0 mais cela depend de la valeur du paramètre \(p\) ce qui explique qu’on écrive qu’elle est dérivable sur «au moins» \(]0\,;\,+\infty[\).
Je te laisse regarder le tableau de la page Wikipedia pour te faire une idée claire sur ces fonctions puissances ( dans la partie exposant réel) :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_puissance
C’est un détail auquel il ne faut pas attacher trop d’importance
Bonne continuation