Matrice

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Inès

Matrice

Message par Inès » sam. 13 juin 2020 10:21

Rebonjour

Désolée c'est encore moi....

Le début d'un problème m'inquiète un peu car je bloqué dès la première question...

Dans tout le problème f est l'application linéaire de R3 dans R3 dont la matrice dans la base canonique de R3 est donnée par (elle s'appelle M) :

-1. 5. -3
1. 0. 0
0. 1. 0

Question 1 : montrer que 1 est valeur propre de f. Quel est le SEP associé ? Donnée un vecteur propre epsilon 1 de troisième composante égale à 1.

Le corrigé : https://www.heberger-image.fr/image/RZrH7

Je comprends pas ce corrigé : qu'est ce qu'un système de Cramer et pourquoi en parler ici ? J'ai l'impression de ne jamais avoir entendu ce mot...

On ne peut pas plutôt chercher un vecteur X :
x
y
z

Qui verifierait : M.X=1.X ?

Merci de m'aider autant
Inès

Re: Matrice

Message par Inès » sam. 13 juin 2020 10:35

Je vous donne mon calcul pour résoudre l'équation M.X=X.
Est-ce que vous pourriez rattacher ce message à celui "Matrice" que je viens d'envoyer s'il vous plaît ?

Donc : M.X=X

<=>

\(\begin{pmatrix}
-1 & 5& -3\\
1& 0 & 0\\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix} . \begin{pmatrix}
x\\
y\\
z
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
x\\
y\\
z
\end{pmatrix}.
\)

<=> (Système) :

-x + 5y - 3z = x
x=y
y=z

<=> x=y=z.

Est-ce que c'est correct ce que je fais là ou pas ?

Ça suffit pour montrer que 1 est valeur propre de f ? Si oui comment déterminer ensuite le sous espace propre associé ?

Merci pour votre temps
sos-math(21)
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Re: Matrice

Message par sos-math(21) » sam. 13 juin 2020 10:51

Bonjour,
Rechercher un vecteur \(X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\), tel que \(MX=1.X\) est équivalent quand on passe le \(X\) à gauche à :
\(MX-X=0\) soit \(MX-IX=(M-I)X=0\) ce qui correspond bien à ce qui est fait dans ton corrigé.
Pour que ta matrice admette 1 comme valeur propre, il s'agit de montrer que \(M-I\) est non inversible ou encore que les solutions de \(MX=X\) (ou \((M-I)X=0\) correspondent à un sev de dimension supérieure ou égale à 1 : en gros, il faut trouver au moins un vecteur propre, ce qui signifie que le système doit avoir une infinité de solutions.
Or un système de Cramer est un système d'équations linéaire possédant une unique solution, ce qui signifie que sa matrice est inversible.
Donc en affirmant que ce système n'est pas un système de Cramer, on traduit la non inversibilité de \(A-I\) donc l'existence de vecteurs propres donc le fait que \(1\) soit valeur propre.
Est-ce plus clair ?
Bonne continuation
sos-math(21)
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Re: Matrice

Message par sos-math(21) » sam. 13 juin 2020 10:56

Bonjour,
si tu as trouvé que le système est équivalent à \(x=y=z\) cela signifie que tes solutions sont une droite vectorielle (car tu n'as besoin que d'un paramètre pour décrire les solutions, donc de dimension 1). Ensuite tu choisis une valeur pour ce paramètre, par exemple 1, ce qui te donne le vecteur \(\begin{pmatrix}1\\1\\1\end {pmatrix}\) comme un vecteur propre.
Bonne continuation
Invité

Re: Matrice

Message par Invité » sam. 13 juin 2020 10:57

Je vais m'y plonger et je vous dis si c'est plus clair dans quelques minutes.

En attendant j'ai essayé la question d'après et elle n'est pas "mieux"... Je vous donne donc énoncé et corrigé :

https://www.heberger-image.fr/image/RZizU
https://www.heberger-image.fr/image/RZErt
https://www.heberger-image.fr/image/RZgm2
https://www.heberger-image.fr/image/RZ8JH

(J'espère que c'est dans l'ordre )

À la question 2 ils écrivent "on pourra montrer quelles sont racines du polynôme A(x)=...." : mais pourquoi montrer ça ? Quel est le lien entre M et A(x) ? J'ai jamais vu ça en cours c'est normal ?

Désolée encore de vous prendre autant de temps

Vous ne savez pas à quel point vous m'aidez....
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Re: Matrice

Message par sos-math(21) » sam. 13 juin 2020 11:05

Bonjour,
cela me surprend que tu n'aies pas vu la notion de polynôme caractéristique dans le chapitre sur la diagonalisation, c'est une notion cruciale à la base de la théorie.
Je te laisse consulter ce cours de licence sur la diagonalisation qui contient tout ce qu'il faut savoir, avec de nombreux exemples :
http://exo7.emath.fr/cours/ch_diagon.pdf
Bonne continuation
Invité

Re: Matrice

Message par Invité » sam. 13 juin 2020 11:07

Dans votre message de 11h51 :
il s'agit de montrer que M−I est non inversible ou encore que les solutions de MX=X (ou (M−I)X=0 correspondent à un sev de dimension supérieure ou égale à 1 : en gros, il faut trouver au moins un vecteur propre, ce qui signifie que le système doit avoir une infinité de solutions.
Je ne comprends pas ce qui est en italique.
Pourquoi montrer que M-I est non inversible reviendrait à montrer que les solutions de MW=X (ou ....) correspondent à un sev de dim supérieure ou égale à 1 ?

Sur le système de Cramer : pourquoi dire que le système possède une unique solution signifie que sa matrice est inversible ?

Mille mercis !!! J'ai un peu de mal en algèbre....
Invité

Re: Matrice

Message par Invité » sam. 13 juin 2020 11:16

Pour le polynôme merci bcp pour le lien.

Est-ce que ça correspond à cette méthode ou pas ?
https://www.heberger-image.fr/image/RZN6S

(C'est dans un livre que vous m'aviez conseillé)

Si oui c'est écrit que c'est hors programme.... Du coup comment on fait dans ce cas là au concours ?

MERCI !
sos-math(21)
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Re: Matrice

Message par sos-math(21) » sam. 13 juin 2020 11:16

Bonjour,
si ta matrice est inversible, la seule solution de l'équation \((M-I)X=0\) est \(X=0\), car on aurait \(X=(M-I)^{-1}\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\), et c'est aussi vrai pour n'importe quelle autre valeur propre :
\(MX=\lambda X\) est équivalent à \((M-\lambda I)X=0\) pour que ce système ait une solution autre que \(\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\), il faut et il suffit que \(A-\lambda I\) soit non inversible car sinon, on aurait : \(X=(M-\lambda I)^{-1}\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\).
Est-ce plus clair ?
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Re: Matrice

Message par sos-math(21) » sam. 13 juin 2020 11:21

Bonjour,
non, la méthode décrite ici utilise la notion de polynôme annulateur qui généralise la notion de polynôme caractéristique.
Le polynôme caractéristique doit apparaître dans ton programme, non ?
Bonne continuation
Invité

Re: Matrice

Message par Invité » sam. 13 juin 2020 11:32

Je vais regarder sur le programme pour le polynôme caractéristique mais j'en ai vraiment jamais entendu parler ni de déterminant d'ailleurs

Pour votre message de 12h16 je comprends les lignes de calcul mais je ne comprend pas le lien avec sous espace vectoriel de dimension supérieure ou égale à 1, je ne comprends pas trop ce que vos lignes de calcul montrent ....
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Re: Matrice

Message par sos-math(21) » sam. 13 juin 2020 11:37

Ces lignes montrent que le seul moyen d'avoir des vecteurs propres (c'est-à-dire des solutions non nulles pour le système) est que la matrice soit non inversible.
Si elle est non inversible le système n'est pas de Cramer, c'est-à-dire qu'il n'a pas une solution unique donc soit une infinité de solutions soit aucune solution.
Donc après, cela dépend des équations mises en jeu mais si on arrive à trouver des relations entre \(x,y,z\) alors il existe des vecteurs propres..
Toute la difficulté réside ensuite dans la détermination des dimensions des sous-espaces propres, ce qui conditionnera la diagonalisabilité de la matrice.
Bonne continuation
Invité

Re: Matrice

Message par Invité » sam. 13 juin 2020 11:42

Maintenant je comprends mieux merci beaucoup !

Mais donc pourquoi dans le corrigé de la question 1 ils ne précisent pas qu'on doit avoir x et y et z différents de 0 ?
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Re: Matrice

Message par sos-math(21) » sam. 13 juin 2020 11:54

Par définition d'un vecteur propre, celui-ci doit être non nul donc c'est "sous-entendu" dans la recherche.
Bonne continuation
Invité

Re: Matrice

Message par Invité » sam. 13 juin 2020 11:57

Ah oui d'accord !

Et le polynôme caractéristique n'est pas au programme....

Ça consiste en quoi généralement ? Et dans ce problème ?
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