Matrice

[Invité]

Apparemment il existerait une méthode systématique :

Le sujet :
https://www.heberger-image.fr/image/RXRUJ

Le corrigé : https://www.heberger-image.fr/image/RXoNX

Comprenez vous mon interrogation ? Je comprend vraiment pas ce que j'ai indiquer dans l'image du corrigé.....

Merci énormément par avance pour votre explication.

[SoS-Math(31)]

Remarques
1) A non nul danc f non nul. D'où dimimf \(\geq\) 1 et d'après le théorème du rang dimimf + dimkerf = 3 donc dim ker f \(\leq\)2
2) A² = 0 donc f² = 0 càd pour tout x ff(x) = 0 donc f(x) inclus dans kerf pour tout x. ainsi Im f inclus dans Kerf. d'où dim Imf \(\leq\)dimkerf ainsi dim imf = 1 et dimker f = 2.

[SoS-Math(31)]

Dans ton message de 14:58
Le problème est que tu changes de matrices "A" et "B" à chaque message !
il manque sans doute des primes dans la suite, ce n'est pas les même c1, c2, c3. Les trois premier c'est avec la matrice B, les autres avec la matrice A.

[SoS-Math(31)]

Je reprends le message de 15:04
Je t'expose la methode.
On prend e'1 dans imf. par exemple C1 première colonne de A. e'1 = c1
Comme imf inclus dans kerf alors e'1 est dans kerf. Dimkerf = 2, on peut donc compléter la base par exemple avec un élément de la base canonique. Si e'1 non colinéaire à e1 alors e'2 = e1
e'3 = a e1+be2+ce3 écrire f(e'3 ) = e'1 dans la base canonique.

[Invité]

Merci bcp de votre rep

Dsl pour les abréviations j'ai vraiment plus le temps.... Je panique sans arrêt

J'ai compris pour l'exercice avec l'extrait de livre.

Par contre je comprend pas du tt ce que j'ai mis dans mon message de 14h58....

Est-ce que vous pourriez m'expliquer svp ?

[SoS-Math(31)]

Pas de panique.
A est la matrice de f dans la base \(\beta\) = (e1, e2, e3)
Si B est semblable à A, B est la matrice de f dans la base \(\beta'\) = (c1, c2,c3)
B(c1) = c1 donc f(c1) = c1 donc f(c1) - c1 = 0 c-à-d. f-Id (c1) = 0 donc c1 dans le noyau de f-id.
B(c2) = 3c1 + 2c2 + 1 c3 donc f(c2) = 3c1 + 2c2 + c3
B(c3) = 1c1 - c2 donc f(c3) = c1- c2

Par contre
A(e1) = e1 donc f(e1) = e1 donc e1 est aussi dans le noyau de f-Id.
A(e2) 2e1+1e2 donc f(e2) = 2e1 + e2
A(e3) = 3e1+2e2+ 1e3 donc f(e3) = 3e1+2e2+e3

[SoS-Math(31)]

Remarque : M = A - Id représente g = f - Id dans la base \(\beta\)
M\(^{3}\) = 0 donc g\(^{3}\) = 0 d'où pour tout x, g(g²(x)) = 0 donc g²(x) appartient au noyau de f pour tout x.
Img² inclus dans Ker g inclus dans ker g². On utilise le même raisonnement que précédemment.

[Invité]

Merci de toutes vos réponses. Je commence à un peu mieux comprendre...
Je crois que j'ai compris pour cet exo merci bcp (et j'ai le corrigé donc me corriger va être assez simple).

J'ai encore un exo sur les matrices sembables, le voici :

https://www.cjoint.com/data/JFyq2jOejn0 ... icesv2.png

J'ai mis ma question directement sur l'image.

Pourriez vous y répondre svp ?

Merci énormément de m'aider, très bonne soirée à vous

[SoS-Math(31)]

dans la base (c1,c2,c3),
c1 est toujours (1;0;0) ton système ne sert à rien.
On cherche la base \(\beta '\)
Par contre, on voit en regardant A que A(e3) = 0 donc on peut prendre c1 = e3.
Si c2 = a e1 + b e2 + ce3 alors f(e'2) = a f(e1) + bf(e2) +cf(e3) = 4a e1 + 2be1+be3 = (4a+2b) e1 + be3
f²(c2) = 4 (4a+2b) e1 = 8 (2a + b) e1 or f²(c2) = f(c1) = 0 d'où 2a+b = 0 ainsi b = - 2a
c2 = (1;-2, 0) dans la base canonique. remarque (c1,c2) sont libres.
Continuer pour c3.

[Invité]

Pourquoi c1 est toujours (1;0;0) ?

Je comprends pas parce que moi dans mon système j'ai trouvé que x appartient à R donc on pourrait très bien prendre :
c1=(4;0;0) n'est ce pas ?

[SoS-Math(31)]

Dans la base (c1,c2,c3), on a toujours c1=(1,0,0) comme c2 = (0,1,0) et c3=(0,0,1)
Par contre tout multiple de c1 sera dans le noyau de f.
Bonne soirée.

[Invité]

Mals alors mon système est plus qu'inutile : il est même faux ?

[SoS-Math(31)]

Ton système est juste : tous les éléments du noyau de f seront tel que y=z= 0 et x réel. Mais dans la base (c1,c2,c3), c1 a pour abscisse 1.

[Invité]

Bonjour

J'ai une question sur les matrices :

Si on a des matrices telles que : A=T.R.S.

Comment passer T ou R ou S à gauche du signe égal ?

Est-ce que on peut écrire indifféremment que A.S^(-1)=T.R et S^(-1).A=T.R ? Ces égalités sont-elles tous les 2 correctes ? Si non comment savoir laquelle écrire ?

Merci bcp je suis désemparée face aux concours imminents.....

[sos-math(21)]

Bonjour,
la particularité du produit matriciel est qu'il n'est pas commutatif en général \(AB\neq BA\) et il n'existe pas de division matricielle, seulement une multiplication par l'inverse que l'on peut faire à gauche ou à droite donc
si tu as \(A=TRS\), tu peux

• multiplier par \(T^{-1}\) par la gauche : \(T^{-1}A=T^{-1}TRS=RS\)
• multiplier par \(S^{-1}\) par la droite : \(AS^{-1}=TRSS^{-1}=TR\)

Voilà les seules opérations que tu peux faire pour passer une des matrices de la droite vers la gauche.
Bonne continuation