Matrice

[Invité]

Ce que je propose à la 2 : mais le problème c'est que je trouve pas le polynôme dont ils parlent : pourquoi ? J'ai faux ?

\(

\begin{pmatrix}
-1 & 5 & -3 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
.
.
.
\begin{pmatrix}
-1 - \lambda & 5 & -3 \\
1 & - \lambda & 0 \\
0 & 1 & - \lambda
\end{pmatrix}
.
.
.
\begin{pmatrix}
1 & - \lambda & 0 \\
0 & 1 & - \lambda \\
-1 - \lambda & 5 & -3
\end{pmatrix}
.
.
.
\begin{pmatrix}
1 & - \lambda & 0 \\
0 & 1 & - \lambda \\
0 & 5 + \lambda - \lambda^{2} & 0
\end{pmatrix}

\)

En faisant pour obtenir la dernière ligne de la dernière matrice : L3<=L3 - (- 1 - lambda) L1.

[sos-math(21)]

Le polynôme est le déterminant de la matrice \(A-xI\) :
\(P(x)=det(A-xI)\)
donc le déterminant vaudra 0 (matrice non inversible) si et seulement si \(\lambda\) est une racine de ce polynôme donc si et seulement si c'est une valeur propre.
Le polynôme caractéristique permet donc de trouver toutes les valeurs propres d'une matrice.
Donc s'il n'est pas au programme de ta filière, cela signifie que les exercices seront adaptés pour obtenir les valeurs propres de la matrice.
Bonne continuation

[sos-math(21)]

Je pense qu'il y a une erreur de signe : ce serait \(-\lambda^2-\lambda+5\).
Il faudra ensuite faire \(L_3<->L_3-(-\lambda^2-\lambda+5)L_2\) ce qui permettrait de trianguler ta matrice et tu aurais :
\(\begin{pmatrix}1 &\lambda&0\\0&1&-\lambda\\0&0&-3+\lambda(-\lambda^2-\lambda+5)\end{pmatrix}\)
et on a donc en bas \(-3+\lambda(-\lambda^2-\lambda+5)=-\lambda^3-\lambda^2+5\lambda -3\) ce qui au signe près correspond au polynôme du corrigé.
Donc ta matrice triangulaire est non inversible si ce coefficient vaut 0 donc si \(\lambda \) est racine de \(P(x)=x^3+x^2-5x+3\).
Bonne continuation

[Invité]

Merci beaucoup maintenant j'ai tout compris !

Je peux vous poser une question sur la suite du problème si besoin ou pas ?

Merci

[Invité]

J'ai donc une question sur la suite du problème :

Pour la deuxième partie de la question 4.a de l'énoncé :
https://www.cjoint.com/c/JFnpErylgw0

Je ne comprends pas le début du corrigé :
https://www.cjoint.com/c/JFnpFTU7fd0

Comment on peut montrer que dim V >= 2 ? Je comprends pas du tout leur explication...

Merci bcp par avance de votre aide

[Invité]

Je vous donne la suite du corrigé de la deuxième partie de la question 4.a parce que je comprends vraiment pas leur raisonnement pour montrer que (eps 1, eps 2) est une base de V.

https://www.heberger-image.fr/image/Rq67u
(Ce qu'il y a avant est dans mon message d'il y a quelques minutes.)

Pourriez-vous donc m'expliquer comment ils montrent que (eps 1, eps 2) est une base de V svp ?

Merci bcp

[Invité]

J'ai une autre incompréhension malheureusement, désolée ... :

C'est pour la question 5. c), je comprends pas du tout le corrigé :
https://www.heberger-image.fr/image/RqBWt

D'où vient leur formule U = PV ?

Moi tout ce que je sais sur le changement de base, c'est ça :
https://www.heberger-image.fr/image/RqSCH

Alors comment extraire de ce dernier document les bonnes infos pour répondre à cette question 5.c que je comprend pas ?

Merci bcp pour l'aide

[sos-math(21)]

Bonjour,
Pour la dimension du sev, ils ont exhibé une famille libre de deux éléments cela signifie que les deux vecteurs sont non colinéaires.
C’est une sorte de raisonnement par l’absurde : si le sev était de dimension 1, alors ce serait une droite vectorielle engendrée par un seul vecteur de base donc tout élément de ce sev serait colinéaire à ce vecteur de base.
Ainsi, dès qu’on prend deux vecteurs de ce sev, ils sont tout les deux colinéaires au vecteur de base donc ils sont colinéaires entre eux. Or on a vu plus haut qu’il existe deux vecteurs non colinéaires ce qui contredit l’hypothèse de dimension 1. Donc le sev est de dimension supérieure ou égale à 2.
Est ce plus clair ?
Bonne continuation

[sos-math(21)]

Bonjour,
Pour la dimension de V on a vu qu’elle était supérieure ou égale à 2.
Or V est le noyau de l’application \((f-id)^2\).
Si dim(V)=3, cela signifie que ce noyau est égal à l’espace tout entier donc pour tout vecteur \(x\) de \(\mathbb{R}^3\), on a \((f-id)^2(x)=0\) donc cette application est nulle donc en particulier sa matrice est nulle, ce qui est faux quand on calcule \((M-I)^2\) qui n’est pas égale à la matrice nulle.
Ainsi la dimension de V est strictement inférieure à 3 donc elle vaut 2.
On a mis en évidence une famille \((\epsilon_1,\epsilon_2)\) libre de deux éléments dans un sev de dimension 2 : or dans un espace de dimension \(n\), toute famille libre de \(n\) éléments est une base de cet espace.
Ainsi, \((\epsilon_1,\epsilon_2)\) est une base de V.
Est ce plus clair ?
Bonne continuation

[sos-math(21)]

Pour les changements de base, il faut surtout retenir que l’ordre n’est pas forcément celui que l’intuition pourrait nous faire penser.
Je te donne le lien vers une référence intéressante (toujours le même site exo7) :
http://exo7.emath.fr/cours/ch_matlin.pdf
En particulier retiens que si X est la matrice colonne d’un vecteur dans une base \(\mathcal{B}\) et que \(X’\) est la matrice colonne de ce même vecteur dans une base \(\mathcal{B}’\) et que \(P\) est la matrice de passage de \(\mathcal{B}\) à \(\mathcal{B}’\), c’est à dire la matrice dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs de \(\mathcal{B}’\) exprimées dans la base \(\mathcal{B}\), alors la formule du changement de base est \(X=PX’\) ( et pas dans l’autre sens comme on pourrait le croire).
Ceci explique la formule utilisée dans le corrigé.
Est ce plus clair ?
Bonne continuation

[Invité]

C'est vraiment très bien expliqué une fois de plus pour la dimension supérieure ou égale à 2 et sur la suite du raisonnement.

Par contre est-ce que vous pourriez me dire quand on peut utiliser les termes de :
- droite vectorielle ?
- plan vectoriel (je ne sais même pas si ça se dit...) ?

Pour ce qui est du changement de bases, merci pour cette formule. Mais j'ai un peu de mal à la transférer dans le cas du problème... Ici c'est quoi B et B' ? Et X et X' ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
tout espace ou sous espace vectoriel de dimension 1 peut être appelé droite vectorielle.
De même, tout espace ou sous espace vectoriel de dimension 2 peut être appelé plan vectoriel.
Dans ton problème (désolé mais je n'ai pas le contexte) tu as un vecteur connu \(U=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\) exprimé dans la base canonique et tu as un vecteur \(V=\begin{pmatrix}a(0)\\b(0)\\c(0)\end{pmatrix}\) exprimé dans une autre base correspondant à d'autres sev dont la somme est égale à l'espace vectoriel de départ.
La matrice de passage \(P\) de la base canonique à cette base permet d'écrire \(U=PV\) et en prenant l'inverse \(V=P^{-1}U\), on retrouve les vecteurs de la deuxième base donc les valeurs de \(a(0),b(0),c(0)\).
Bonne continuation

[Invité]

Merci beaucoup tout ça commence à devenir vraiment plus clair.

Il y a uniquement ce passage que je ne comprend pas :

correspondant à d'autres sev dont la somme est égale à l'espace vectoriel de départ.

Je ne sais pas si vous parliez de ça, mais la somme directe de SEV n'est pas à mon programme ...

[sos-math(21)]

Bonjour,
je pensais à cela car je ne connaissais pas le contexte de ton exercice.
Il faudrait que tu me précises ce que désigne le vecteur \(V\) dont on parle.
Bonne continuation

[Invité]

Ok. Alors ce corrigé :

https://www.heberger-image.fr/image/RqPQC
https://www.heberger-image.fr/image/RqBWt

Correspond à la correction du début la question 5 de ce problème :

https://www.heberger-image.fr/image/RZizU
https://www.heberger-image.fr/image/Rq3oe

Est ce que vous avez besoin de plus d'infos pour m'aider ?

Merci bcp