Bonjour
c est encore moi inès cette fois je comprends pas la correction de quelques questions d'un sujet de proba :
https://www.cjoint.com/c/JFlnSJP1qG0
Je comprends pas du tout les questions 2 a b c et d de la deuxième partie, je comprend pas les corrigés. Est ce que vous pourriez m aider à les comprendre s il vous plaît ?
Merci bcp d'avance pour l'aide SoS maths
Probabilités
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Inès
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sos-math(21)
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Re: Probabilités
Bonjour,
on considère des propositions \(X_1,....,X_n\) qui sont faites à un artiste et on veut savoir quelle est la probabilité que le maximum soit atteint parmi les \(r\) premières propositions qui sont systématiquement refusées par l'artiste, ce qui est la traduction de l'événement "la vente ne se fera pas\).
Donc on définit \(M\) le maximum des \(X_i\) et on considère qu'il est atteint pour un certain rang \(k\), ce qui signifie que \(X_k \) est strictement supérieur à tous les \(X_i\), lesquelles sont toutes deux à deux distinctes, donc cela revient à placer le maximum \(M\) à une certaine position d'une liste de \(n\) éléments et à positionner les \(n-1\) éléments restants aux \(n-1\) emplacements restants. La position de \(M\) étant fixée, cela correspond donc à une permutation de \(n-1\) éléments (et ce n'est pas une combinaison car l'ordre compte car on fait la distinction entre les éléments) et on sait par le dénombrement classique qu'il y a \((n-1)!\) possibilités.
L'ensemble des possibilités de placements des \(n\) éléments correspondant lui-même à une permutation de \(n\) éléments, on a \(n!\) possibilités.
Étant dans un cas d'équiprobabilité, on fait le rapport des deux nombres d'où le \(\dfrac{1}{n}\).
Ensuite, on regarde le cas où le maximum se situerait parmi les \(r\) premières propositions, ce qui mènerait à la non-réalisation de la vente.
Cela revient à considérer l'événement \(\displaystyle B=\bigcup_{i=1}^{r}(M=Xi)\), car on cherche à ce que le maximum soit parmi un des \(X_i\), \(1\leqslant i \leqslant r\).
Ces événements étant deux à deux incompatibles,la probabilité de leur union est égale à la somme de leur probabilité, qui est la même pour tous, à savoir ce que l'on vient de calculer \(\dfrac{1}{n}\), donc on a \(\dfrac{r}{n}\).
Cette propriété peut alors servir pour calculer l'événement \(C_k\). Je te conseille de reprendre la deuxième méthode proposée en remarque et qui me semble bien plus adaptée, en terme de logique, pour obtenir la probabilité de \(C_k\), car on ré-appplique le même principe précédent, alors que la méthode présentée en première intention utilise des probabilités composées (probabilités conditionnelles).*
Est-ce plus clair ?
on considère des propositions \(X_1,....,X_n\) qui sont faites à un artiste et on veut savoir quelle est la probabilité que le maximum soit atteint parmi les \(r\) premières propositions qui sont systématiquement refusées par l'artiste, ce qui est la traduction de l'événement "la vente ne se fera pas\).
Donc on définit \(M\) le maximum des \(X_i\) et on considère qu'il est atteint pour un certain rang \(k\), ce qui signifie que \(X_k \) est strictement supérieur à tous les \(X_i\), lesquelles sont toutes deux à deux distinctes, donc cela revient à placer le maximum \(M\) à une certaine position d'une liste de \(n\) éléments et à positionner les \(n-1\) éléments restants aux \(n-1\) emplacements restants. La position de \(M\) étant fixée, cela correspond donc à une permutation de \(n-1\) éléments (et ce n'est pas une combinaison car l'ordre compte car on fait la distinction entre les éléments) et on sait par le dénombrement classique qu'il y a \((n-1)!\) possibilités.
L'ensemble des possibilités de placements des \(n\) éléments correspondant lui-même à une permutation de \(n\) éléments, on a \(n!\) possibilités.
Étant dans un cas d'équiprobabilité, on fait le rapport des deux nombres d'où le \(\dfrac{1}{n}\).
Ensuite, on regarde le cas où le maximum se situerait parmi les \(r\) premières propositions, ce qui mènerait à la non-réalisation de la vente.
Cela revient à considérer l'événement \(\displaystyle B=\bigcup_{i=1}^{r}(M=Xi)\), car on cherche à ce que le maximum soit parmi un des \(X_i\), \(1\leqslant i \leqslant r\).
Ces événements étant deux à deux incompatibles,la probabilité de leur union est égale à la somme de leur probabilité, qui est la même pour tous, à savoir ce que l'on vient de calculer \(\dfrac{1}{n}\), donc on a \(\dfrac{r}{n}\).
Cette propriété peut alors servir pour calculer l'événement \(C_k\). Je te conseille de reprendre la deuxième méthode proposée en remarque et qui me semble bien plus adaptée, en terme de logique, pour obtenir la probabilité de \(C_k\), car on ré-appplique le même principe précédent, alors que la méthode présentée en première intention utilise des probabilités composées (probabilités conditionnelles).*
Est-ce plus clair ?
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Inès
Re: Probabilités
Oui merci pr ttes ces explications très détaillée !
Il y a uniquement quelque chose que je comprends toujours pas c'est sur le dénombrement :
Merci bcp
Il y a uniquement quelque chose que je comprends toujours pas c'est sur le dénombrement :
Pourquoi ça ne serait pas une permutation ? Surtout que la formule pour un arrangement c'est n!/(n-p)! : vous n'utilisez pas cette formule mais plutôt la formule de la permutation noncela correspond donc à un arrangement de n−1 éléments (et ce n'est pas une \(\require{cancel}\cancel{\text{permutation}}\) (combinaison, note du modérateur) car l'ordre compte car on fait la distinction entre les éléments) et on sait par le dénombrement classique qu'il y a (n−1)! possibilités.
Merci bcp
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sos-math(21)
- Messages : 10354
- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: Probabilités
Rebonjour,
oui je me suis trompé, j'ai voulu dire une combinaison : une permutation est effectivement un cas particulier d'arrangement où l'on prend tous les éléments de l'ensemble.
Je corrige dans le message initial.
Bonne continuation
oui je me suis trompé, j'ai voulu dire une combinaison : une permutation est effectivement un cas particulier d'arrangement où l'on prend tous les éléments de l'ensemble.
Je corrige dans le message initial.
Bonne continuation
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Invité
Re: Probabilités
OK d'accord donc là on est bien dans le cas d'une permutation ?
On peut écrire ça ou pas ? :
"cela correspond donc à une permutation de n−1 éléments"
On peut écrire ça ou pas ? :
"cela correspond donc à une permutation de n−1 éléments"
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sos-math(21)
- Messages : 10354
- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: Probabilités
Rebonjour,
une permutation de \(n\) éléments est une bijection d'un ensemble fini de cardinal \(n\) sur lui-même : on peut illustrer cela comme une liste ayant \(n\) emplacements numérotés de 1 à \(n\) (donc l'ordre a une importance), les éléments (que l'on distingue) de l'ensemble venant se mettre chacun à un emplacement.
Il y a \(n!\) possibilités de placements distincts et dans ce cas, cela correspond à un arrangement de \(n\) éléments dans un ensemble à \(n\) éléments.
Lorsque l'on s'intéresse seulement à \(p\) éléments d'un ensemble à \(n\) éléments, c'est comme si on cherchait à placer \(p\) éléments dans les \(n\) cases disponibles : pour le premier éléments, il y a \(n\) emplacements possibles, pour le deuxième, il en reste \(n-1\), ... pour le \(p\) ème, il en reste \(n-(p-1)\), ce qui fait en tout : \(n\times (n-1)\times(n-2)\times \ldots\times (n-p+1)=\dfrac{n!}{(n-p)!}\), ce qui correspond à la notion d'arrangement.
Donc si l'arrangement a autant d'éléments que l'ensemble total, c'est une permutation donc s'il reste \(n-1\) éléments à placer dans \(n-1\) emplacements, on a bien une permutation : une permutation est un cas particulier d'arrangement. Cela reste un détail, l'important est que tu aies les idées claires entre p-listes (tirage avec remise), arrangement (tirage sans remise) et combinaison (tirage par poignées (simultané))
Bonne continuation
une permutation de \(n\) éléments est une bijection d'un ensemble fini de cardinal \(n\) sur lui-même : on peut illustrer cela comme une liste ayant \(n\) emplacements numérotés de 1 à \(n\) (donc l'ordre a une importance), les éléments (que l'on distingue) de l'ensemble venant se mettre chacun à un emplacement.
Il y a \(n!\) possibilités de placements distincts et dans ce cas, cela correspond à un arrangement de \(n\) éléments dans un ensemble à \(n\) éléments.
Lorsque l'on s'intéresse seulement à \(p\) éléments d'un ensemble à \(n\) éléments, c'est comme si on cherchait à placer \(p\) éléments dans les \(n\) cases disponibles : pour le premier éléments, il y a \(n\) emplacements possibles, pour le deuxième, il en reste \(n-1\), ... pour le \(p\) ème, il en reste \(n-(p-1)\), ce qui fait en tout : \(n\times (n-1)\times(n-2)\times \ldots\times (n-p+1)=\dfrac{n!}{(n-p)!}\), ce qui correspond à la notion d'arrangement.
Donc si l'arrangement a autant d'éléments que l'ensemble total, c'est une permutation donc s'il reste \(n-1\) éléments à placer dans \(n-1\) emplacements, on a bien une permutation : une permutation est un cas particulier d'arrangement. Cela reste un détail, l'important est que tu aies les idées claires entre p-listes (tirage avec remise), arrangement (tirage sans remise) et combinaison (tirage par poignées (simultané))
Bonne continuation