Application

[Inès]

Bonjour

Pourquoi ici il faut préciser que T est linéaire pour montrer que T(Fw) C Fw ?

https://www.heberger-image.fr/image/RU2EB
https://www.heberger-image.fr/image/RUykE

Merci bcp pr l'aide

Et je me rappelle plus j'avais déjà envoyée ce sujet ou pas ? Désolée je me rappelle plus

[sos-math(21)]

Bonjour,
j'ai déja répondu dans un précédent message : c'est la linéarité de l'application qui permet de passer d'une combinaison linéaire de vecteurs de \(Fw\) à une combinaison linéaire des vecteurs images, lesquels sont dans \(Fw\), ce qui montre la stabilité par \(T\) (je me re-cite) :

tu travailles ici sur une application linéaire \(T\) d'un espace vectoriel de fonctions. Donc \(T\) est l'application linéaire et \(T(f)\) est l'image du vecteur \(f\), ici une fonction par l'application \(T\) : un peu comme \(f\) et \(f(x)\), \(T\) est l'application globale, \(T(f)\) est une image particulière.
Pour \(T(Fw)\subset Fw\), il suffit de considérer les vecteurs générateurs de ton espace vectoriel \(Fw\), à savoir \(\varphi_1,\varphi_2,\varphi_3,\varphi_4\) et de vérifier que leurs images respectives sont bien dans \(Fw\).
C'est bien le cas puisque les calculs effectifs des images amènent :
\(T(\varphi_1)=\alpha\varphi_1\in Fw\)
\(T(\varphi_2)=\beta\varphi_2\in Fw\)
\(T(\varphi_3)=\gamma\varphi_2+\delta\varphi_3\in Fw\)
\(T(\varphi_4)=\lambda \varphi_1+\theta \varphi_4\in Fw\)

Une fois cela prouvé, c'est terminé, car tout élément élément de \(Fw\) s'écrivant \(\varphi=\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\lambda_3\varphi_3+\lambda_4\varphi_4\), son image s'écrira par linéarité de \(T\) : \(T(\varphi)=\lambda_1 \underbrace{T(\varphi_1)}_{\in Fw}+\lambda_2 \underbrace{T(\varphi_2)}_{\in Fw}+\lambda_3 \underbrace{T(\varphi_3)}_{\in Fw}+\lambda_4 \underbrace{T(\varphi_4)}_{\in Fw}\)
donc on aura \(T(\phi)\in Fw\) ce qui prouvera \(T(Fw)\subset Fw\).
Est-ce plus clair ? C'est une démarche classique en algèbre linéaire, on démontre une propriété pour une famille génératrice ou une base d'un espace vectoriel et on en déduit la propriété sur tout vecteur de cet espace vectoriel, par linéarité.

Tu vois bien qu'il est nécessaire d'avoir \(T\) linéaire pour re-décomposer l'image d'un vecteur en une combinaison linéaire des vecteurs images.
Bonne continuation