SOS-MATH

Bonjour

Dans ce problème je bloque dès la question 1.a.
https://www.heberger-image.fr/image/vGU1
Pour moi dans ce type de question il faut prendre F1 et F2 deux éléments de epsilon 0 et un réel lambda puis montrer que Tn(lambda.F1+F2)=lambda.Tn(F1) + Tn(F2).

Mais dans le corrigé ils calculent aussi Tn (lambda.F1+F2)(0) : pourquoi ? Ils justifient même que Tn est bien définie sur epsilon 0 et que Tn(F) est bien un élément de epsilon.

Pourquoi font-ils tout ça ? Ça ne suffit pas de montrer que Tn(lambda.F1+F2)=lambda.Tn(F1) + Tn(F2) ??

Aussi pourriez-vous m'aiguiller pour la question 1.b svp ?

Merci bcp de toute votre aide

Bonjour,
il faut effectivement vérifier la propriété de linéarité mais comme ce sont des fonctions, il faut vérifier l'égalité pour tout réel \(x\) afin de conclure sur l'égalité des fonctions : pour tout \(\lambda\in\mathbb{R}\), pour tous \(F_1,\, F_2\in\mathcal{E}_0\) et pour tous \(x \in\mathbb{R}\) : \(T_n(\lambda F_1+F_2)(x)=\lambda T_n(F_1)(x)+F_2(x)\) donc il faut bien étudier les deux cas : \(x=0\) et \(x\neq 0\).
Pour la deuxième question, parité , il faut calculer pour une fonction \(f\) donnée \(T_n(-f)(x)\) et avec des changements de variables dans l'intégrale \(t=-u\), comparer avec \(T_n(f)(x)\) lorsque \(f\) est paire ou impaire.
Pour la positivité il faut montrer que pour toute fonction \(f\) positive \(T_n(f)\) est positive soit pour tout réel \(x\), \(T_n(f)(x)\geqslant 0\).
Bonne continuation