SOS-MATH

Bonjour

Et oui je suis désolée c'est encore moi Inès avec mes problèmes de poste bac... Les précédents fois SOS 21 vous m'aviez super bien aidée alors je reviens encore !

Voici ici les liens de mon problème, j'ai aussi mis les corrigés pour que vous voyez bien de quoi il s'agit.

https://www.heberger-image.fr/image/vtLu
https://www.heberger-image.fr/image/vpPX
https://www.heberger-image.fr/image/vouJ
https://www.heberger-image.fr/image/vmJM

Mon problème est pour la deuxième question de la question 5.c.
Je ne comprends pas le corrigé qui est sur la double page 3, je ne comprend pas la correction du deuxième point.

Est-ce que vous pouvez m'expliquer comment répondre à cette deuxième partie de la question 5.c svp ?

Cela m'aiderait grandement. Merci beaucoup bon après-midi

Bonjour,
les résolutions des équations différentielles mènent aux solutions qui sont des espaces vectoriels de dimension 1, qui sont donc générés par des vecteurs (en l'occurrence, ici, ces vecteurs sont des fonctions).
On a donc la forme des vecteurs directeurs qui seront des solutions polynomiales si et seulement si leurs exposants sont des nombres entiers.
La combinaison de cette condition sur les 3 vecteurs solutions impose que \(\lambda\in\left\lbrace 3,1,-1\right\rbrace\).
On en déduit ensuite trois vecteurs générateurs des espaces de solutions.
Lorsqu'on réinjecte ces solutions dans l'équation différentielle de départ, on obtient une relation du type \(f(e_i)=ie_i\), avec \(f\) l'application linéaire de départ, ce qui prouve que les \(e_i\) sont des vecteurs propres associées aux valeurs propres \(i\in\left\lbrace 3,1,-1\right\rbrace\).
Ce qui prouve que \(f\), endomorphisme d'un espace de dimension 3, possédant 3 valeurs propres distinctes (et trois vecteurs propres) est diagonalisable.
Bonne continuation