SOS-MATH

Bonjour

J'ai des souci avec le théorème de Schwartz (désolée c'est du poste bac). Ici c'est dans un cas d'utilisation en physique mais c'est quand-même des maths....

Le calculs : https://www.heberger-image.fr/image/lg5o

Je n'arrive pas du tout à comprendre comment ils passent du système de gauche au système de droite.

Pourriez-vous m'expliquer svp ? Pourriez-vous me détailler les calculs ? J'ai vraiment du mal à comprendre ce théorème de Schwartz...

Merci bcp de l'aide.

Bonjour,
le théorème de Schwarz concerne les dérivées partielles secondes : si on prend une fonction de classe \(\mathcal{C}^2\) il dit que si l'on dérive d'abord selon la première variable puis selon la deuxième, cela donne le même résultat que si on dérive d'abord selon la deuxième puis selon la première :
\(\dfrac{\partial }{\partial x}\left(\dfrac{\partial f}{\partial y}\right)=\dfrac{\partial }{\partial y}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right)\)
Et dans ton cas, on l'applique à une forme différentielle exacte : https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9o ... de_Schwarz (voir la partie Application aux formes différentielles).
On dérive selon \(T\) et selon \(P\) et les dérivées partielles secondes "croisées" sont égales.
Bonne continuation

Merci de votre réponse.

Désolée mais je crois que je n'ai vraiment pas compris ce théorème...

Est-ce que vous pourriez m'expliquer avec un exemple de fonction de classe C2 s'il vous plaît ?

Bonjour,
ce théorème affirme simplement que quand on dérive deux fois de suite selon des variables différentes, l'ordre n'a pas d'importance et les dérivées partielles secondes "croisées" sont égales :
on va prendre un exemple très simple du volume d'un cône qui dépend de deux variables : le rayon du disque de base \(r\) et la hauteur \(h\);
On a donc \(f(r,h)=\dfrac{\pi r^2 h}{3}\) et \(f\) est une forme différentielle sur \(\mathbb{R}^2\).
quand on effectue les dérivées partielles, on a :
\(\dfrac{\partial f}{\partial r}(r,h)=\dfrac{2r\pi h}{3}\) et \(\dfrac{\partial f}{\partial h}(r,h)=\dfrac{r^2\pi}{3}\)
Si on re-dérive selon la deuxième variable, on a alors :
\(\dfrac{\partial^2 f}{\partial h\partial r}(r,h)=\dfrac{\partial}{\partial h}\left(\dfrac{2r\pi h}{3}\right)=\dfrac{2r\pi}{3}\) et \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial r\partial h}(r,h)=\dfrac{\partial}{\partial r}\left(\dfrac{r^2 \pi}{3}\right)=\dfrac{2r\pi}{3}\)
On a bien égalité des dérivées partielles secondes deux "croisées".
Bonne continuation

Merci beaucoup c'est très claire !

Je crois que j'ai compris.

Tant mieux si tu as compris,
il te reste à l'appliquer à ton exercice de physique.
Bonne continuation

J'ai une autre question aussi de calcul :

https://www.heberger-image.fr/image/l5AX

Le corrigé donne à la question 2 : \(\Large -\frac{\alpha \omega cos\omega t}{(1+\alpha sin\omega t)^{2}}[C{_{0}}E-RC{_{0}i(t)}]-\frac{RC{_{0}}}{(1+\alpha sin\omega t)}\frac{di}{dt}\).

Comment en faisaint les approximations demandées dans l'énoncé on peut obtenir à la question 5.3 :

\(RC{_{0}}\frac{di}{dt}+i(t) \approx - \alpha \omega cos\omega t C{_{0}} E \) ?

Je vois pas comment les approximations demandées permettent d'écrire ça.

Merci bcp par avace de l'aide

Bonjour,
peux-tu me renvoyer l'intégralité de l'énoncé et du corrigé afin que je reconstitue la démarche et que je te l'explique ?
Bonne continuation.

Bien sûr :

Sujet intégral : https://www.heberger-image.fr/images/20 ... 234592.png
Et sa correction : https://www.heberger-image.fr/image/lbmt

Est-ce que vous pourriez m'aider avec ça ?.

Merci bcp..

Bonjour,
on dit que \(\alpha<<1\) donc tous les éléments exprimés sous la forme \(1+\alpha\sin(\omega t)\) sont assimilés à 1.
Pour la deuxième parenthèse \(\left[C_0E-RC_0i(t)\right]\), si on factorise par \(RC_0\), on a \(RC_0\left(\dfrac{E}{R}-i(t)\right)\), or on nous dit que \(i(t)<<\dfrac{E}{R}\) donc on ne garde que \(\dfrac{E}{R}\) donc cela devient :
\(i(t)=-\alpha\omega\cos(\omega t)RC_0\dfrac{E}{R}-RC_0\dfrac{di}{dt}\).
Voilà qui permet de simplifier l'équation.
Bonne continuation