SOS-MATH

Bonjour

J'ai un sujet de probabilité qui me pose problème.

Énoncé : https://www.heberger-image.fr/image/xnF4
(C'est le deuxième problème)
Début du corrigé : https://www.heberger-image.fr/image/zmqf

J'ai du mal à comprendre ce que fait le corrigé dans la première question : pourriez vous m'expliquer svp ?

Surtout, pourquoi écrit on G1= U En ? Ça je ne comprend pas du tt... Dans quels cas on peut écrire ce genre d'union "infinie" ?

Merci bcp de l'aide

Bonsoir

Ceci est un message qui concerne un sujet de probabilité envoyé il y a une heure environ, mais le sujet n'a pas encore été publier et j'aimerais ajouter une question à propos de ce sujet. Pourrez vous mettre ce message sur le bon sujet svp ?

Voici ma question, je ne comprend pas la correction de la question c.

Début correction c) : https://www.heberger-image.fr/image/zRyI
Suite correction même question : https://www.heberger-image.fr/image/zppL

Est-ce que vous comprenez pourquoi ils font deux points pour prouver l'équivalence ? Jr sais que pour prouver une équivalence on fait par double implication.

Mais là la double implication est déjà effectuer dans le premier point non ? (sur le lien "début correction") Puisque le signe <=> est utilisé ?

Pourriez-vous me clarifier ça svp ? Y a t il une erreur dans le correction ?

Merci beaucoup

Désolée j'ajoute encore une question sur le sujet de probabilité que j'ai envoyé il y a peu de temps.

Correction de la question b : https://www.heberger-image.fr/image/z0iT

Pourquoi a-t-on + infini au-dessus du symbole somme ? Comment savoir que la somme va de 1 à + infini ? Moi j'aurais mis de 1 à 2n : pourquoi c'est faux ?

Merci encore de m'aider autant

Bonjour,
On te dit que la partie se termine lorsqu'un des joueurs gagne, si tant est que celle-ci se termine ce qui signifie que la suite des événements peut être infinie.
On sait que le joueur 1 ne peut gagner qu'aux rangs impairs mais cela peut arriver n'importe quand donc pour former l'événement G1 traduisant la victoire de la partie par le joueur 1, il faut et il suffit que l'on soit dans l'un des \(E_k\) donc la réunion, a priori infinie, formant l'événement G1.
Ensuite, on essaie de calculer la probabilité de victoire du joueur 1 à l'un des rangs impairs, \(2n+1\), cela ne peut arriver que si J1 ne réalise pas A1 au rang 1, J2 ne réalise pas A2 au rang 2, ainsi de suite afin que la partie se poursuive jusqu'au rang 2n+1 où on a la victoire de J1.
On a donc \(n\) couples de parties identiques correspondant à (A1 non réalisé par J1 puis A2 non réalisé par J2 : \(\overline{J_1}\cap \overline{J2}\)) ce qui se traduit par les probabilités \(q_1\) et \(q_2\), ces événements étant mutuellement indépendants, la probabilité de l'événement \(E_n=\overline{J_1}\cap \overline{J2}\overline{J_1}\cap \overline{J2}\ldots\overline{J_1}\cap \overline{J2}\cap J_1\) est le produit des probabilités :
\(p(E_n)=q_1 q_2\times q_1 q_2\times \ldots \times q_1q_2\times p_1=(q_1q_2)^n p_1\)
L'événement \(G_1\) étant la réunion infinie des \(E_n\) qui sont incompatibles, la probabilité de cette union est donc égale à la somme des probabilités, d'où la somme de la série géométrique qui en découle.
Bonne continuation

Bonjour,
il raisonne bien par double implication :

Supposons que le jeu équitable

il en déduit que les probabilités sont égales donc que les rapports sont égaux et que \(p_1=q_1p_2\) : l'équivalence utilisée est à l'intérieur de l'implication.
Ensuite il part de cette égalité :

Supposons \(p1=q_1p_2\)

et il s'en sert pour simplifier l'expression des deux probabilités et monter qu'elles sont toutes les deux égales à 0,5.
Donc le corrigé est correct.
Bonne continuation

Bonjour,
pour les mêmes raisons que celles évoquées dans un de mes précédents messages,
la variable aléatoire \(T\) étant égale au nombre de coups joués jusqu'à la fin du jeu, ce nombre de coups peut prendre pour valeur n'importe quel nombre entier naturel (d'où la sommation de 0 à \(+\infty\)).
Il reste ensuite à séparer les cas pairs et impairs traduisant la victoire de chacun des deux joueurs, puis remplacer les probabilités \(P(T=2n+1\) par la probabilité \(p(E_n)\) et \(P(T=2n\) par la probabilité \(p(F_n)\).
Ensuite, le reste est assez calculatoire.
Bonne continuation

Bonsoir

Merci beaucoup pour toutes ces explications, tout cela est bien plus clair maintenant.

J'ai compris vos premiers et troisième message mais pas le deuxième.

Je crois que ce qui me perturbe est l'équivalence dans la première implication : pour moi la deuxième implication à montrer après celle de la première page est :

Supposons p2=p1(1-p1).

Puis avec ça on reprend les équivalences en les parcourant de la droite vers la gauche. Pourquoi ça ne marcherait pas ? C'est vraiment faux ?

Désolée...

Et pour la question 2) e. j'ai ça dans le corrigé (c'est le début) : https://www.heberger-image.fr/image/zFao

Comment peut-on trouver une telle E(T) ?
Je ne reconnais pas du tout la formule de l'espérance (somme de k.P(X=k)) dans cette égalité... Et vous ?

Merci encore de l'aide précieuse

J'ai encore quelques question sur la troisième et dernière partie de ce sujet. Je suis vrmt désolée....

Énoncé 3ème partie : https://www.heberger-image.fr/image/zIwE
Début correction 3ème partie : https://www.heberger-image.fr/image/zuIB
Suite correction 3ème partie : https://www.heberger-image.fr/image/z6qc

1. Je ne comprends pas la correction de la question 1.a. Je vois qu'ils font un raisonnement par l'absurde mais je ne comprend pas déjà pourquoi ils écrivent : P(Gk)=c ? C'est pas compris entre 0 et 1 c en plus ?

2. Pour la correction de la 1.c : je comprend jusqu'à "en passant à la limite dans cette égalité : .....".
Mais ensuite pourquoi "l'indépendance des évènements de la famille ... conduirait alors à ..." ? C'est pas plutôt l'incompatibilité ?

3. Question 2.a.i : pourquoi a t on q1q2q3.....qn=q.q.q.q......q ?
Pourquoi tous les qn seraient égaux à q ? C'est mentionner nul part dans l'énoncé pourtant ?

4. Question 2.a.iii : d'où vient l'égalité P(Gn)=Q(n-1)-Qn ? Comment connait on cette inégalité ? Elle est écrite nul part dans l'énoncé...

5. Pour le calcul de l'espérance de N à Q.2a.iii : il ne faudrait pas justifier avant d'écrire E(N)=... que l'espérance existe ? Si oui comment faire ?

Voilà désolée de vous poser autant de questions ça me gène beaucoup mais vous me faites énormément progresser ! J'espère réussir mes concours grâce à toute votre aide ! :)

Bonjour,
La rédaction par double implication est plus claire et plus confortable d'un point de vue rédactionnel :
première implication : on suppose le jeu équitable et on obtient l'égalité \(p_1=q_1p_2\) en égalant les deux probabilités (les numérateurs sont égaux)
deuxième implication : on suppose \(p_1=q_1p_2\) et on remplace \(p_1\) par \(q_1p_2\) dans les expressions de \(P(G_1)\) et \(P(G_2)\) pour obtenir leur égalité.
Je pense que ce qui te perturbe est l'usage d'une équivalence dans la première implication, celle-ci n'est pas nécessaire et tu aurais pu la remplacer par une série d'implications menant à \(p_1=q_1p_2\) .
Est-ce plus clair ?

Bonjour,
pour la question 2, e, je n'ai pas l'énoncé et j'ai du mal à faire le lien avec la situation : peux-tu me renvoyer cet énoncé ?
Merci d'avance

Bonjour,
Pour la partie 3, c'est un raisonnement par l'absurde : on se place dans le cas d'une infinité de joueurs (indexé par \(k\)\) l'événement "le joueur k gagne" est noté \(G_k\). Ces événements sont deux à deux incompatibles donc \(P\left(\bigcup_{k\in\mathbb{N}}\right)=\sum_{k\in\mathbb{N}}P(G_k)\), ce qui prouve aussi que la série est convergente car la probabilité de l'union est un nombre compris entre 0 et 1.
Si on suppose l’équiprobabilité de victoire, cela signifie que tous les événements \(G_k\) ont la même probabilité de se réalise donc il existe un réel \(c>0\) tel que pour tout entier \(k\), \(P(G_k)=c\) donc avec ce qu'on vient de dire, cela signifierait que la série convergente a pour terme général un nombre constant non nul, ce qui est contradictoire avec la convergence d'une série : si une série converge alors son terme général tend vers 0.

Pour la question 1c, tu as raison c'est l'incompatibilité deux à deux des événements qui assure que la probabilité de l'union est égale à la somme des probabilités.
Pour la 2 a i
Dans l'énoncé 2a, on écrit :

On pose pour entier naturel \(n>0\),\(p_n=p\)

Comme pour tout entier \(n\), on a \(q_n=1-p_n\) on a donc pour tout entier \(n\) \(q_n=1-p_n=1-p=q\).
Pour la 2aiii, tu sais que \(\sum_{k=1}^n P(Gk)=1-Q_n\) donc si tu considères \(P(G_n)=\sum_{k=1}^n P(Gk)-\sum_{k=1}^{n-1} P(Gk)\)
alors \(P(G_n)=1-Q_n-(1-Q_{n-1})=Q_{n-1}-Q_n\).
Pour une variable aléatoire discrète \(X\), l'espérance mathématique est définie par \(\sum_{i}x_iP(X=x_i)\) à condition que cette série converge absolument.
Donc l'énoncé demandant le calcul de l'espérance, il suppose implicitement que cette espérance existe donc que la série converge absolument donc qu'elle est convergente, ce qui permet de manipuler directement la somme.
Bonne continuation

Bonjour

Merci beaucoup de toutes ces explications.

C'est plus clair pour la double implication. Pareil pour la 1.c, la 2.a.i et 2.a.iii.

Par contre je ne comprend vraiment pas le raisonnement par l'absurde : est-ce que vous pourriez me réexpliquer svp ? Je comprend pas le raisonnement à partir de : "ce qui prouve aussi que la série est convergente car la probabilité de l'union est un nombre compris entre 0 et 1."

Pour la question 2.e, l'énoncé est dans mon tout premier message. Et le corrigé dans mon message d'hier soir.

Merci encore de m'aider

Rebonjour,
je reprends les explications de la partie 3 qui utilise un raisonnement par l'absurde :
- on se place dans le cas d'une infinité de joueurs (indexé par \(k\)\) l'événement "le joueur k gagne" est noté \(G_k\).
la famille des \(G_k\) est une famile d'événements deux à deux incompatibles donc la série converge : cette propriété est un élément caractéristique de la définition d'une probabilité sur un espace probabilisable : ainsi la série \(\sum_{k\in\mathbb{N}}P(G_k)\) converge donc son terme général \(P(G_n)\) tend vers 0 (propriété qui se déduit de la convergence des séries)
Là intervient le raisonnement par l'absurde :
Si on suppose l’équiprobabilité de victoire, cela signifie que tous les événements \(G_k\) ont la même probabilité de se réalise donc il existe un réel \(c>0\) tel que pour tout entier \(k\), \(P(G_k)=c\) donc avec ce qu'on vient de dire, cela signifierait que la série convergente a pour terme général un nombre constant non nul, ce qui est contradictoire avec la convergence d'une série : si une série converge alors son terme général tend vers 0.
Est-ce plus clair ?
Pour la 2 e), la variable \(T\) étant égale au nombre de coups joués dans la partie, elle peut se décomposer en \(T=T_1+T_2+\ldots T_c\) : somme des coups joués par chacun des joueurs. L'espérance étant linéaire, on fait la somme des espérances, on a \(E(T)=\sum_{k=1}^{c}E(T_k)\).
Ensuite pour calculer \(E(T_k)\) , on reprend les informations des questions précédentes. Comme le joueur \(k\) ne peut jouer qu'aux rangs \(cn+k\), on a en reprenant ce qui a été fait sur le jeu à deux joueurs : \(E(T_k)=\sum_{k=0}^{+\infty}(cn+k)P(E_k)=\sum_{k=0}^{+\infty}(cn+k)(q_0....q_c)^{n}q_0....q_{k-1}p_k\) ce qui donne la somme finale.
Est-ce plus clair ?
Bonne continuation

J'y réfléchis et je reviendrais vers vous demain merci !