Bonjour
Je ne comprends pas le corrigé de cet exercice : https://www.heberger-image.fr/image/MXjo
Pourquoi peut-on écrire Z(x)=.... (Voir image envoyée au dessus).
Merci de l'aide, bonne journée
Exercice
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sos-math(21)
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Re: Exercice
Bonjour,
tu sais que ta fonction s'écrit \(\displaystyle Z(x)=\int_{\frac{1}{x}}^{x}\dfrac{\ln(t)}{1+t^2}\text{d}t\)
On introduit la fonction \(G\) définie par \(\displaystyle G(x)=\int_{1}^{x}\dfrac{\ln(t)}{1+t^2}\text{d}t\) qui correspond à la primitive de \(t\mapsto \dfrac{\ln(t)}{1+t^2}\) qui s'annule en 1. Donc sa dérivée est connue et vaut \(G'(x)=\dfrac{\ln(x)}{1+x^2}\)
L'idée est d'exprimer la fonction \(Z\) en fonction de \(G\) en utilisant la relation de Chasles :
\(\displaystyle Z(x)=\int_{\frac{1}{x}}^{x}\dfrac{\ln(t)}{1+t^2}\text{d}t=\int_{\frac{1}{x}}^{1}\dfrac{\ln(t)}{1+t^2}\text{d}t+\int_{1}^{x}\dfrac{\ln(t)}{1+t^2}\text{d}t=\int_{1}^{x}\dfrac{\ln(t)}{1+t^2}\text{d}t-\int_{1}^{\frac{1}{x}}\dfrac{\ln(t)}{1+t^2}\text{d}t=G(x)-G\left(\dfrac{1}{x}\right)\)
De là, il devient plus facile de dériver \(Z\) et obtenir sa valeur.
Bonne continuation
tu sais que ta fonction s'écrit \(\displaystyle Z(x)=\int_{\frac{1}{x}}^{x}\dfrac{\ln(t)}{1+t^2}\text{d}t\)
On introduit la fonction \(G\) définie par \(\displaystyle G(x)=\int_{1}^{x}\dfrac{\ln(t)}{1+t^2}\text{d}t\) qui correspond à la primitive de \(t\mapsto \dfrac{\ln(t)}{1+t^2}\) qui s'annule en 1. Donc sa dérivée est connue et vaut \(G'(x)=\dfrac{\ln(x)}{1+x^2}\)
L'idée est d'exprimer la fonction \(Z\) en fonction de \(G\) en utilisant la relation de Chasles :
\(\displaystyle Z(x)=\int_{\frac{1}{x}}^{x}\dfrac{\ln(t)}{1+t^2}\text{d}t=\int_{\frac{1}{x}}^{1}\dfrac{\ln(t)}{1+t^2}\text{d}t+\int_{1}^{x}\dfrac{\ln(t)}{1+t^2}\text{d}t=\int_{1}^{x}\dfrac{\ln(t)}{1+t^2}\text{d}t-\int_{1}^{\frac{1}{x}}\dfrac{\ln(t)}{1+t^2}\text{d}t=G(x)-G\left(\dfrac{1}{x}\right)\)
De là, il devient plus facile de dériver \(Z\) et obtenir sa valeur.
Bonne continuation