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Amandine

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Message par Amandine » sam. 25 avr. 2020 16:07

Bonjour,

J'ai une partie d'un DM de supérieur qui me pose problème.

\(\vee n \geqslant 2 : u_{n}=\int_{n-1}^{n} \frac{1}{t} dt - \frac{1}{n}\)
On admet que la série \(\sum_{n\geqslant 2} u_{n}\) converge.
Pour tout entier \(n \geqslant\) 1, on pose : \(H_{n}=\sum_{k=1}^{n}=\frac{1}{k} - ln(n)\).

Démontrer que la suite \((H_{n})_{n\geqslant 1}\) converge.

Je ne vois vraiment pas d'idée. Doit on utilisais la divergence de la série harmonique ? Je suis pas sûre du tout...
Auriez vous une piste svp ? Ca fait plusieurs jours que je bloque...

Merci !
SoS-Math(34)
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Re: Suite

Message par SoS-Math(34) » sam. 25 avr. 2020 17:51

Bonjour Amandine,

Pour prouver qu'une suite est convergente, il s'agit assez souvent d'utiliser le théorème de convergence des suites croissantes majorées (ou décroissantes minorées). Cependant, dans cet exercice, l'hypothèse de convergence de la suite de terme général \(\sum_{k=2}^{n}u_{k}\) doit t'inviter à trouver une relation entre \(\sum_{k=2}^{n}u_{k}\) et Hn. Tu peux par exemple calculer \(\sum_{k=2}^{n}u_{k}\), ou plus précisément transformer son expression, et tu arriveras à l'exprimer en fonction de Hn.
Au bout du compte, tu trouveras une égalité du type \(\sum_{k=2}^{n}u_{k}\) = Hn + ....
Pour cela, tu vas avoir besoin d'utiliser la linéarité de la somme et le calcul intégral.

Bonne recherche,
Sosmaths
SoS-Math(34)
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Message par SoS-Math(34) » dim. 26 avr. 2020 09:39

PS : Dans le calcul intégral, la relation de Chasles pour les intégrales peut te servir.
Invité

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Message par Invité » dim. 26 avr. 2020 11:40

Merci beaucoup de la réponse.

J'ai un ami qui m'a dit qu'on pouvait écrire : u_n=ln (n)-ln(n-1) -1/n.

Mais je ne vois absolument pas comment on pourrait obtenir ça : en utilisant la linéarité de l'intégrale ? Moi je ne vois pas comment.

Bon dimanche
sos-math(21)
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Re: Suite

Message par sos-math(21) » lun. 27 avr. 2020 11:27

Bonjour,
sachant qu'une primitive de\(\mapsto \dfrac{1}{t}\) est \(t\mapsto \ln(t)\) on peut effectivement écrire cela.
Je te conseille effectivement de trouver une relation entre \(H_n\) et la somme partielle de la série.
En effet, si tu écris la somme des \(u_n\) : tu as
\(u_2=\ln(2)-\ln(1)-\dfrac{1}{2}\)
\(u_3=\ln(3)-\ln(2)-\dfrac{1}{3}\)
\(u_4=\ln(4)-\ln(3)-\dfrac{1}{4}\)
...
\(u_n=\ln(n)-\ln(n-1)-\dfrac{1}{n}\)
En faisant la somme de ces égalités, tu peux voir qu'il y a des simplifications en cascade et il te restera :
\(u_2+....+u_n=\ln(n)-\left(\dfrac{1}{2}+\ldots+\dfrac{1}{n}\right)\) donc \(\sum_{k=2}^n u_k=....\) et \(H_n=\ldots\).
Bonne continuation
SoS-Math(34)
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Re: Suite

Message par SoS-Math(34) » lun. 27 avr. 2020 11:27

Bonjour,

Il faut pour cela utiliser le calcul intégral.
Je te rappelle que si f est continue sur un intervalle [a;b], l'intégrale sur [a;b] de f se calcule en faisant F(b) - F(a) où F est une primitive de f sur [a;b].
Dans ton exemple, f(t) = 1/t donc F(t) = ln(t) et donc ton intégrale est F(n) - F(n-1) ce qui donne ln(n) - ln(n-1).

Il te reste en particulier à effectuer la somme des termes (ln n - ln(n-1)).
Tu verras que plusieurs termes se téléscopent (s'éliminent) si tu écris tous les termes de ta somme.

Bonne recherche
sosmaths
Invité

Re: Suite

Message par Invité » lun. 27 avr. 2020 11:40

Merci pour les pistes.

Est ce qu'on a : somme de k=2 à n de uk= somme de k=2 à n de (ln(k)-ln(k-1)) - Hn - ln (n) + 1 ?

= 1-Hn ?

C'est correct ou pas ?
sos-math(21)
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Re: Suite

Message par sos-math(21) » lun. 27 avr. 2020 12:59

Bonjour,
il y a effectivement le terme 1 qui n'est pas dans la somme donc on a bien l'égalité \(\sum_{k=2}^{n}u_k=1-H_n\).
Donc la convergence de la série \(\sum u_k\) équivaut à la convergence de la suite des sommes partielles \(\left(\sum_{k=2}^{n}u_k\right)_{n\geqslant 2}\) donc cela prouve la convergence de la suite \((H_n)_{n\geqslant 1}\)
Bonne continuation