SOS-MATH

Bonjour,
Voici l'énoncé de l'exercice sur lequel je n'arrive pas à conclure :
Trouver deux rées a et b , a non nul, tels que la fonction f définie sur \(\mathbb{R}\) par f(x) = sin(ax+b) vérifie les deux conditions suivantes :
[C1] pour tout réel x, f(x+2) = f(x)
[C2] La valeur moyenne de f sur [0;1] est \(\frac{1}{\Pi }\)
Voilà ce que j'ai fait :
J'ai utilisé [C1] pour x = 0 , ce qui m'a permis de trouver b= \(\frac{\Pi}{2 }\) - a
et en utilisant [C2] je suis arrivé à cos(b)=\(\frac{a}{\Pi }\)

et là je suis bloqué....
Merci pour votre aide.

Bonjour,
la première information peut se traduire par \(\sin(ax+b)=\sin(a(x+2)+b)\) donc \(\sin(ax+b)=\sin(ax+b+2a)\) donc sachant que la fonction \(sinus\) est \(2\pi\) périodique, le nombre \(2a\) est un multiple de \(2\pi\) donc \(a\) est un multiple de \(\pi\).
On peut choisir \(a=\pi\).
Ensuite, une primitive de la fonction est \(F(x)=-\dfrac{1}{\pi}\cos(\pi x+b)\) donc la condition sur la valeur moyenne donne :
\(\dfrac{1}{\pi}\left[\cos(b)-\cos(b+\pi)\right]=\dfrac{1}{\pi}\)
ce qui donne en simplifiant par \(\dfrac{1}{\pi}\) : \(\cos(b)-\cos(b+\pi)=1\)
Or \(\cos(b+\pi)=-\cos(b)\) donc on obtient que \(2\cos(b)=1\) soit \(\cos(b)=\dfrac{1}{2}\).
Je te laisse conclure sur une valeur potentielle de \(b\), c'est relativement simple à trouver.
Bonne continuation

Merci ! La périodicité de sin modulo 2\(\Pi\) j'aurai pu y penser...
Du coup on peut choisir b = \(\frac{\Pi}{3}\)
Merci beaucoup our votre aide, bonne fin de journée.

Bonjour,
Effectivement \(b=\dfrac{\pi}{3}\) convient.
Bonne continuation