Exercice d'arithmétique

[Yessine]

Bonjour,
Ex:

1586536009_16-Exemple d'équations de la forme ax+by=c-Application.pdf

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je ne comprends pas la correction de question 2)b) en particulier cette étape :

pouvez vous m'aider?
Merci d'avance

[sos-math(21)]

Bonjour,
tu as dû voir une propriété qui s'appelle le théorème de bezout et qui affirme que :

Identité de Bachet-Bezout : Soient \(a\) et \(b\) deux entiers relatifs. Si \(d\) est le PGCD de \(a\) et \(b\), alors il existe deux entiers relatifs \(x\) et \(y\) tels que \(ax + by = d\).

On a aussi le cas particulier de deux entiers premiers entre eux (pgcd égal à 1) :

Théorème de Bezout : Deux entiers relatifs \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux si et seulement s'il existe deux entiers relatifs \(x\) et \(y\) tels que \(ax + by = 1\).

C'est ce qui est utilisé ici : il suffit de trouver deux nombres \(x\) et \(y\) tels que \((11k+6)x+(13k+7)y=1\), mais comment les trouver ?
Comme il faut éliminer les \(11k\) et les \(13k\), on essaie de multiplier le premier par \(13\) et le deuxième par \(-11\) pour les faire disparaître et cela permet d'obtenir une différence égale à \(1\) : impeccable ! (le problème est sûrement construit pour que cela marche, ce n'est pas de la magie).
As-tu compris ?
Bonne continuation