SOS-MATH

Bonjour,
Je bloque sur la dernière question d'un exercice.
Voilà l'énoncé :
On considère une suite \(u_{n}\) définie par \(\left\{\begin{matrix} u_{0}=1\\ u_{n+1}=f(u_{n}) \end{matrix}\right.\)
Dans les premières questions j'ai démontré que (\(u_{n}\)) est convergente et \(0\leqslant u_{n}\leqslant 1\)
Ensuite on considère une fonction g définie sur [0;1] par \(g(x)=x-f(x)\)
J'ai démontré (à l'aide des questions demandées ) que g est croissante sur [0;1] et que l'équation \(g(x)=0\) a pour unique solution 0.
Et enfin on me demande d'en déduire que \(\lim_{n \to +\infty }u_{n}=0\)
Je n'arrive pas à faire le lien avec ce que j'ai trouvé précedemment pour justifier cette limite.
Merci de votre aide.

Bonjour Cyprien,

Puisque tu as prouvé que ta suite est convergente (par le théorème sur les suites croissantes et majorées ou bien décroissantes et minorées j'imagine), tu peux en déduire que la limite de ta suite définie par \(\left\{\begin{matrix} u_{0}=1\\ u_{n+1}=f(u_{n}) \end{matrix}\right.\)
est solution de l'équation f(x) = x qui s'écrit aussi f(x) - x = 0 soit g(x) = 0.
Or tu as résolu l'équation g(x) = 0 à la question précédente... la limite L de ta suite est donc connue maintenant.
Il reste à rédiger la réponse.

Bonne continuation,
Sosmaths

Merci pour votre réponse. Je n'y avais pas pensé !
Bonne fin de journée.

Bonjour,
si tu as montré que ta suite est croissante et majorée, ou croissante et minorée, alors elle est convergente et elle converge vers un réel \(\ell\), solution de \(f(x)=x\). Une fois que tu as prouvé que la fonction \(g\) s'annule en une unique valeur, alors cette valeur est la limite de ta suite.
Bonne continuation