Équation

[Invité]

Bonjour

Je reviens avec une question encore de maths appliquée à la physique. Voici l'énoncé de l'exo : https://www.heberger-image.fr/image/u1Nx

Et voici son corrigé : https://www.heberger-image.fr/image/uURW

J'ai compris comment on obtenait l'équation différentielle en bas à gauche de la feuille de corrigé.

Mais ensuite je ne comprends pas sa résolution (donc la partie maths) : comment trouver xSP et xSH ?

Tout ce que je sais sur les équations différentielles c'est ceci :
Page 1 : https://www.heberger-image.fr/image/uZBe
Page 2 : https://www.heberger-image.fr/image/uqYC

Mais d'où sort dans le corrigé l'expression de xSP ? Je n'arrives pas à faire le lien avec le cours...

Et ensuite dans la parti droite de la feuile du corrigé pourquoi mon prof passe en notation complexe ? Pourquoi c'est nécessaire ?

Vous me sauveriez si vous pouviez repondre à cet question car cela fait des heures que je cherche et mes profs ne répondent pas

Merci et bonne semaine

[sos-math(21)]

Bonjour,
les réponses se trouvent dans ton cours : dans la première partie de ton cours, on te dit que la solution générale de l'équation différentielle est la somme de la solution de l'équation homogène (membre de droite égal à 0) et d'une solution particulière et on te dit comment celle-ci peut être trouvée.
Le passage aux complexes permet de trouver la forme de la solution générale, notamment l'amplitude : les calculs sont simplifiés par le passage aux complexes, notamment en terme de dérivation : une exponentielle est plus simple à manipuler qu'une fonction trigonométrique.
Il reste ensuite à repasser dans les réels pour retrouver l'amplitude cherchée.
je suis loin d'être expert en physique et ton problème me ramène de nombreuses années en arrière !
Si tu veux davantage de précisions, essaie de poser ta question sur le forum sos-physique : http://sosphysique.ac-poitiers.fr/
Bonne continuation

[Invité]

Merci beaucoup pour l'aide

Par contre comment on trouve à partir de mon cours la solution particulière et la solution homogène pour la question a ? En bas à gauche dans le corrigé de mon prof comment il trouve xSP(t) comme ça ? Pour moi ça resemble plutôt à xSH(t) non ?

Merci

[sos-math(27)]

Bonjour Invité,
Pour une équation différentielle, on doit procéder en deux temps : ( ici le régime est amorti à cause du frottement et entretenu par le mvt du point A)

• 1

Résoudre l'équation homogène (avec le second membre égal à 0) -> la solution au second ordre est de trois types possibles (voir l'image du cours capturée)

• 2

Rechercher la solution particulière qui a la même "forme" que la fonction au second membre de l'équation ( ici \(x(t)=Acos(\omega t +\phi)\)).

Voici comment ton professeur "devine" la correction : en fait cela se passe toujours comme cela pour une équation différentielle.
à bientôt

[Invité]

Merci beaucoup pour l'aide

En fait maintenant j'ai compris comment on fait pour le point 1, mais pas d'où sort le x(t) du point 2. Excuses moi mais pourriez vous me réexpliquer ?

Merci

[SoS-Math(31)]

Bonjour invité,
c'est dans l'énoncé du b), on vous demande "une solution correspondant au régime permanent de la forme x(t) = A cos(\(\omega\)t +\(\phi\)" donc on cherche la solution particulière sous cette forme.
La forme trigonométrique d'un complexe z = |z| (cos \(\theta\) + i sin \(\theta\)) donc la solution particulière x(t) recherchée sera la partie réelle de z.
On utilise la forme exponentielle z = |z| e\(^{i\theta }\) = A e\(^{(\omega t+\phi)i }\)
pour trouver la solution z puis on prendra sa partie réelle pour trouver la solution particulière.

[Invité]

Merci beaucoup tout ça commence à devenir vraiment beaucoup plus claire pour moi.

Mais j'ai encore une imcomprenhesion : pourquoi dîtes vous ça :

donc la solution particulière x(t) recherchée sera la partie réelle de z.
.... puis on prendra sa partie réelle pour trouver la solution particulière.

?

Comment savez-vous qu'il faut prendre la partie réelle ?
Et comment savez-vous aussi qu'il faut passer aux complexes pour trouver x(t) ? Qu'est ce qui dans l'énoncé permet de savoir ça ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
comme je vous l'ai dit dans un message précédent, le passage par les complexes permet de mieux gérer la dérivation.
Une exponentielle se dérive "bien" et les calculs entre les dérivées de degré différents sont plus simples que si on utilise une fonction trigonométrique.
Sachant que la phase recherchée est la partie réelle de la forme complexe (celle avec le cosinus), il est logique de prendre la partie réelle de la solution.
Bonne continuation