SOS-MATH

Bonjour,
Voilà ma problématique :
On considère la suite \((u_{n})\) définie par récurrence tel que :\(\left\{\begin{matrix} u_{0}=0,5\\ u_{n+1}=u{_{n}-u_{n}^{2}} \end{matrix}\right.\)
et je dois montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N^{*}}, u_{n}\leq \frac{1}{n}\)
J'ai essayé un raisonnement par récurrence mais cela n'a pas abouti.
Merci de l'aide que vous pourrez m'apporter.
Bonne journée
Cyprien

Bonjour,
as tu montré que la suite était décroissante?
as tu essayé d'utiliser une fonction?

Bonjour,
Oui j'ai démontré que la suite était décroissante et bornée par 0 et 0,5 donc convergente.

Tu peux utiliser la fonction \(f(x)=x-x²\).
Cette fonction est décroissante facile à montrer
\(U_{n+1}=f(U_n)\)
Je te laisse poursuivre

Oui tout ça je l'ai fait mais je vois pas en quoi ça m'aide à montrer que \(u_{n}\leq \frac{1}{n}\) ?

Tu as : \(U_n \leq \frac{1}{n}\)
En utilisant la fonction et sa décroissance tu peux écrire :
\(f(U_n) \leq f(\frac{1}{n})\)
\(U_{n+1} \leq \frac{1}{n}-(\frac{1}{n})^2\)
Soit : \(U_{n+1} \leq \frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}\)

Il te reste à montrer que \(\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{n+1}\)

Merci pour votre aide, je bloquais complètement sur cette question.
Je vous souhaite une bonne soirée.

Bonne soirée
A bientôt sur le forum
SoSmath