suite
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Bonjour,
Voilà ma problématique :
On considère la suite \((u_{n})\) définie par récurrence tel que :\(\left\{\begin{matrix} u_{0}=0,5\\ u_{n+1}=u{_{n}-u_{n}^{2}} \end{matrix}\right.\)
et je dois montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N^{*}}, u_{n}\leq \frac{1}{n}\)
J'ai essayé un raisonnement par récurrence mais cela n'a pas abouti.
Merci de l'aide que vous pourrez m'apporter.
Bonne journée
Cyprien
Voilà ma problématique :
On considère la suite \((u_{n})\) définie par récurrence tel que :\(\left\{\begin{matrix} u_{0}=0,5\\ u_{n+1}=u{_{n}-u_{n}^{2}} \end{matrix}\right.\)
et je dois montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N^{*}}, u_{n}\leq \frac{1}{n}\)
J'ai essayé un raisonnement par récurrence mais cela n'a pas abouti.
Merci de l'aide que vous pourrez m'apporter.
Bonne journée
Cyprien
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- Messages : 3486
- Enregistré le : ven. 25 nov. 2016 14:24
Re: suite
Bonjour,
as tu montré que la suite était décroissante?
as tu essayé d'utiliser une fonction?
as tu montré que la suite était décroissante?
as tu essayé d'utiliser une fonction?
Re: suite
Bonjour,
Oui j'ai démontré que la suite était décroissante et bornée par 0 et 0,5 donc convergente.
Oui j'ai démontré que la suite était décroissante et bornée par 0 et 0,5 donc convergente.
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- Messages : 3486
- Enregistré le : ven. 25 nov. 2016 14:24
Re: suite
Tu peux utiliser la fonction \(f(x)=x-x²\).
Cette fonction est décroissante facile à montrer
\(U_{n+1}=f(U_n)\)
Je te laisse poursuivre
Cette fonction est décroissante facile à montrer
\(U_{n+1}=f(U_n)\)
Je te laisse poursuivre
Re: suite
Oui tout ça je l'ai fait mais je vois pas en quoi ça m'aide à montrer que \(u_{n}\leq \frac{1}{n}\) ?
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- Messages : 3486
- Enregistré le : ven. 25 nov. 2016 14:24
Re: suite
Tu as : \(U_n \leq \frac{1}{n}\)
En utilisant la fonction et sa décroissance tu peux écrire :
\(f(U_n) \leq f(\frac{1}{n})\)
\(U_{n+1} \leq \frac{1}{n}-(\frac{1}{n})^2\)
Soit : \(U_{n+1} \leq \frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}\)
Il te reste à montrer que \(\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{n+1}\)
En utilisant la fonction et sa décroissance tu peux écrire :
\(f(U_n) \leq f(\frac{1}{n})\)
\(U_{n+1} \leq \frac{1}{n}-(\frac{1}{n})^2\)
Soit : \(U_{n+1} \leq \frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}\)
Il te reste à montrer que \(\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{n+1}\)
Re: suite
Merci pour votre aide, je bloquais complètement sur cette question.
Je vous souhaite une bonne soirée.
Je vous souhaite une bonne soirée.
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- Enregistré le : ven. 25 nov. 2016 14:24
Re: suite
Bonne soirée
A bientôt sur le forum
SoSmath
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