SOS-MATH

Bonjour,
je cherche à déterminer la limite de \(f(x)=\frac{xe^{x}}{e^{x}+1}\) en +\(\infty\) et en \(-\infty\).
Pour +\(\infty\) j'ai factorisé par \(e^{x}\) pour lever l'indétermination et j'ai trouvé +\(\infty\).
Mais pour \(-\infty\), je ne sais pas comment lever l'indétermination.
Merci de votre aide.

Bonjour,
pour la limite en \(-\infty\), tu peux utiliser une croissance comparée de l'exponentielle \(\lim_{x\to-\infty}x\text{e}^x=0\) (et même \(0^{-}\))
En effet si tu poses \(X=-x\) tu as \(\lim_{x\to-\infty}x\text{e}^x=\lim_{X\to+\infty}-X\text{e}^{-X}=\lim_{X\to+\infty}\dfrac{-X}{\text{e}^X}=0^{-}\) d'après la cours sur les croissances comparées
Ainsi, en \(-\infty\), ton numérateur tend vers \(0^-\) et ton dénominateur tend vers 1 : \(\lim_{x\to-\infty}\text{e}^x=0\) donc \(\lim_{x\to-\infty}\text{e}^x+1=1\) : il te reste à conclure sur la limite du quotient.
Bonne continuation

Merci pour votre réponse rapide et très claire. J'avais en effet oublié les croissances comparées !
J'ai conclu ensuite sans difficultés à 0 pour la limite en \(-\infty\).
Bonne fin de journée.

A bientôt sur le forum.
Sosmaths