SOS-MATH

Bonjour,

J'ai une question sur un exo de géométrie d'approfondissement de TS.

Comment, à partir de : B={(a,b,c) appartenant à R3 | a-2b+c=0}, je peux déterminer deux vecteurs v=(d,e,f) et x=(g,h,i) tels que leur troisième coordonnée soit égale à 1 et tels que l'on ait :
il existe deux réels M et N tels que u=M×v+N×x (avec u un vecteur de B, B étant défini un peu avant).

J'ai commencé par faire ça : \(a-2b+c=0\iff a=2b-c\) donc on a \((2b-c,b,c)\).

D'où : v=(2,1,0) et x=(-1,0,1). Mais on n'a pas la troisième coordonnée égale à 1 pour v, je n'arrive pas à prendre en compte cette contrainte. Comment faire svp ?

Dans le corrigé donné par le prof il a : trouvé : v=(1,1,1) et x=(3,2,1).
Mais comment a-t-on ça ? Je n'ai pas du tout pareil !

Merci beaucoup de m'aider et faites attention à vous en cette période de crise sanitaire difficile.

Bonjour,

B est un plan de l'espace, donc de dimension 2 : il suffit de trouver deux vecteurs de B qui ne soient pas colinéaires pour définir une base (v;x) de ce plan c'est-à-dire un couple de vecteurs (v;x) tel que tout vecteur u de B puisse s'écrire comme combinaison linéaire de v et x soit sous la forme u =Mv + Nx avec M et N des réels.
Pour cela, les vecteurs v et x recherchés ont des coordonnées de forme (d;e;1) avec d - 2e + 1 = 0.
Si on choisit d = 1, alors 1 - 2e + 1 = 0 soit 2e = 2 et ainsi e = 1 et tu obtiens v(1;1;1)
Si on choisit d = 3, on obtient 3 - 2e + 1 = 0 soit e = 2... et tu obtiens x(3;2;1)
Evidemment, on aurait pu choisir une autre valeur pour d... car B contient une infinité de vecteurs dont la dernière coordonnées est 1.

Il reste à vérifier que v(1;1;1) et x(3;2;1) ne sont pas colinéaires : c'est le cas car leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles.

Bonne journée
Sosmaths