La règle d’hôpital lettre I)

[Antony]

Bonsoir,

Alors pour la lettre i) je n’arrive pas a la bonne réponse et je ne comprends pas pourquoi d’après le corrigé ca donne e^2 et moi j’arrive a l’infini soit e^infini qui donne infini.
Sur ma feuille de démarche la colonne de droite=quand je fais l’évaluation avec le x pour trouver les formes indéterminées etc. La colonne de gauche ma démarche pour faire la dérivée de la limite .
Merci de votre aide.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Antony,

Il faut factoriser \(e^x\) dans tes parenthèses ...
\((x+e^x)^{\frac{2}{x}} = (e^x\times (\frac{x}{e^x}+1))^{\frac{2}{x}} = (e^x)^{\frac{2}{x}} \times (\frac{x}{e^x}+1)^{\frac{2}{x}} = e^2 \times e^{\frac{2}{x}ln(1+\frac{x}{e^x})}\)

Avec cela tu dois pouvoir conclure.

SoSMath.

[Antony]

Bonsoir,
J’ai tenté avec vos explications cependant je n’arrive pas a la bonne réponse puisque e^2 multiplier par l’infini=infini.
Merci de votre aide.

[sos-math(21)]

Bonjour,
ta simplification est erronée : il faut laisser la forme exponentielle
\((x+e^x)^{\frac{2}{x}} = (e^x\times (\frac{x}{e^x}+1))^{\frac{2}{x}} = (e^x)^{\frac{2}{x}} \times (\frac{x}{e^x}+1)^{\frac{2}{x}} = e^2 \times e^{\frac{2}{x}\ln(1+\frac{x}{e^x})}\)
Quand tu regardes l'exposant : \(\lim_{x\to +\infty}\dfrac{2}{x}=0\), \(\lim_{x\to+\infty}\ln\left(1+\dfrac{x}{e^x}\right)=0\) car \(\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{\text{e}^x}=0\) d'après les croissances comparées et par composition avec le logarithme \(\lim_{X\to 0}\ln(1+X)=0\), on obtient bien cette limite.
Donc au final, il te reste un exposant dont la limite vaut ... donc par composition avec l'exponentielle, tu as ....
Il te restera ...
Bonne conclusion

[Antony]

Bonsoir,

Comment avez vous fait pour simplifier les e(forme exponentielle) et rester seulement avec la lim (1+x/e^x) . Je n’ai pas compris car quand je fais à nouveau ma démarche j’arrive toujours à la même chose. Merci de votre aide.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Antony,

Tu as une composition de limites …
\(\lim_{x\to +\infty }\frac{2}{x}ln(1+\frac{x}{e^x}) = 0\) composé avec \(\lim_{X \to 0} e^X = 1\)
donc par composition \(\lim_{x\to +\infty } e^{\frac{2}{x}ln(1+\frac{x}{e^x})} = 1\)

SoSMath.

[sos-math(21)]

Bonjour,
je ne les ai pas simplifiés, d'ailleurs, il ne faut pas.
Il faut laisser le calcul sous la forme \(e^2 \times e^{\frac{2}{x}\ln(1+\frac{x}{e^x})}\) et regarder les limites des facteurs :

• \(\lim_{x\to +\infty}\dfrac{2}{x}=0\)
• \(\lim_{x\to+\infty}\ln\left(1+\dfrac{x}{e^x}\right)=0\) car \(\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{\text{e}^x}=0\) d'après les croissances comparées puis par composition avec le logarithme \(\lim_{X\to 0}\ln(1+X)=0\)

donc l'exposant tend vers 0 et donc \(\lim_{x\to +\infty}e^{\frac{2}{x}\ln(1+\frac{x}{e^x})}=1\) et il reste \(\text{e}^{2}\)
Est-ce plus clair ?
Par ailleurs, pourquoi parles-tu de règle de l'Hopital ? Elle n'est pas utilisée ici ?
C'est ton professeur qui t'en a parlé ?
Bonne continuation