Bonjour,
Vous trouverez ci-joint l'un des exercices qu'il m'a été donné avec la correction.
Voilà, je suis bloquée sur le b. En effet je ne sais pas comment faire pour trouver une primitive d'exponentielle. Cela me gène pour continuer l’exercice. Serait-il possible de m'expliquer la démarche à suivre.
Merci pour votre aide.
Intégrales
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Maeva
Intégrales
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sos-math(27)
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Re: Intégrales
Bonjour,
Exponentielle est une fonction extraordinaire, puisqu'elle est égale à sa dérivée !!
Pour tout réel \(x\) on a : si \(f(x)=e^x\) alors \(f'(x))=e^x\)
donc si on cherche les primitives de exponentielle, on trouve aussi exponentielle :
Pour tout réel \(x\) on a : si \(f(x)=e^x\) alors \(F(x))=e^x+k\)
Par contre dans ton exercice, on a pas la fonction exponentielle "seule" mais elle est composées, en effet, la fonction à intégrer, c'est :
\(u(x)=e^{2x}\)
On aurait alors pour dérivée : \(u'(x)=2 \times e^{2x}\) c'est à dire que par composition, il y a la dérivée de \(2x\) qui est mise en facteur devant l'exponentielle.
Pour la primitive, c'est la raisonnement inverse, et donc on a un facteur \(\frac{1}{2}\) qui vient se mettre devant l'exponentielle.
\(U(x)=\frac{1}{2}\times e^{2x}\)
d'où le calcul ...
plus d'explication ici : [youtube]https://www.youtube.com/watch?v=iiq6eUQ ... e=youtu.be[/youtube]
à bientôt
Exponentielle est une fonction extraordinaire, puisqu'elle est égale à sa dérivée !!
Pour tout réel \(x\) on a : si \(f(x)=e^x\) alors \(f'(x))=e^x\)
donc si on cherche les primitives de exponentielle, on trouve aussi exponentielle :
Pour tout réel \(x\) on a : si \(f(x)=e^x\) alors \(F(x))=e^x+k\)
Par contre dans ton exercice, on a pas la fonction exponentielle "seule" mais elle est composées, en effet, la fonction à intégrer, c'est :
\(u(x)=e^{2x}\)
On aurait alors pour dérivée : \(u'(x)=2 \times e^{2x}\) c'est à dire que par composition, il y a la dérivée de \(2x\) qui est mise en facteur devant l'exponentielle.
Pour la primitive, c'est la raisonnement inverse, et donc on a un facteur \(\frac{1}{2}\) qui vient se mettre devant l'exponentielle.
\(U(x)=\frac{1}{2}\times e^{2x}\)
d'où le calcul ...
plus d'explication ici : [youtube]https://www.youtube.com/watch?v=iiq6eUQ ... e=youtu.be[/youtube]
à bientôt
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Maeva
Re: Intégrales
Bonjour,
Merci pour votre réponse précédente, je crois avoir désormais compris comment trouver la primitive d'un exponentielle. Maintenant, je voudrais savoir s'il était possible de m'expliquer comment il fait par la suite pour simplifier le résultat.
Merci pour votre aide et a bientot
Merci pour votre réponse précédente, je crois avoir désormais compris comment trouver la primitive d'un exponentielle. Maintenant, je voudrais savoir s'il était possible de m'expliquer comment il fait par la suite pour simplifier le résultat.
Merci pour votre aide et a bientot
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sos-math(21)
- Messages : 10348
- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: Intégrales
Bonjour,
merci pour ton retour.
Pour le calcul de l'intégrale, on a \(G(1)-G(-1)=\dfrac{1}{2}\text{e}^{2\times 1}-\dfrac{1}{2}\text{e}^{2\times (-1)}=\dfrac{1}{2}\text{e}^{2}-\dfrac{1}{2}\text{e}^{-2}\)
Or \(\text{e}^{-2}=\dfrac{1}{\text{e}^2}\) donc cela donne bien la même chose que le corrigé, en factorisant ensuite par \(\dfrac{1}{2}\).
Bonne continuation
merci pour ton retour.
Pour le calcul de l'intégrale, on a \(G(1)-G(-1)=\dfrac{1}{2}\text{e}^{2\times 1}-\dfrac{1}{2}\text{e}^{2\times (-1)}=\dfrac{1}{2}\text{e}^{2}-\dfrac{1}{2}\text{e}^{-2}\)
Or \(\text{e}^{-2}=\dfrac{1}{\text{e}^2}\) donc cela donne bien la même chose que le corrigé, en factorisant ensuite par \(\dfrac{1}{2}\).
Bonne continuation
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Invité
Re: Intégrales
Bonjour,
J'avais donc bien trouvé la même mais je ne l'avais pas mis en fraction.Merci pour votre réponse.
Je suis désolée de vous déranger mais malgré vos explications, je continue de me tromper. Alors voila :
J'ai continué l’exercice en faisant le c mais ma primitive n'est pas bonne. En effet, je trouve 1/2x exp x^2 (un demi de x exponentielle de x carré)
Sauf que dans la correction il n'y a pas de x après le 1/2... Alors ou est-il ?
Merci pour votre aide et à bientot
J'avais donc bien trouvé la même mais je ne l'avais pas mis en fraction.Merci pour votre réponse.
Je suis désolée de vous déranger mais malgré vos explications, je continue de me tromper. Alors voila :
J'ai continué l’exercice en faisant le c mais ma primitive n'est pas bonne. En effet, je trouve 1/2x exp x^2 (un demi de x exponentielle de x carré)
Sauf que dans la correction il n'y a pas de x après le 1/2... Alors ou est-il ?
Merci pour votre aide et à bientot
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sos-math(21)
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- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: Intégrales
Bonjour,
ta fonction à intégrer est \(h(x)=x\text{e}^{x^2}\) qui est "presque" de la forme \(u'\text{e}^{u}\).
En effet, en partant de \(\left(\text{e}^{u}\right)'=u'\text{e}^{u}\), si tu dérives \(\left(\text{e}^{x^2}\right)'=2x\text{e}^{x^2}\) donc il y a juste le coefficient 2 qui manque dans la fonction de départ donc pour qu'il n'y ait pas ce 2, il faut que tu prennes \(H(x)=\dfrac{1}{2}\text{e}^{x^2}\) pour que la dérivation retombe sur \(h\).
Bon courage
ta fonction à intégrer est \(h(x)=x\text{e}^{x^2}\) qui est "presque" de la forme \(u'\text{e}^{u}\).
En effet, en partant de \(\left(\text{e}^{u}\right)'=u'\text{e}^{u}\), si tu dérives \(\left(\text{e}^{x^2}\right)'=2x\text{e}^{x^2}\) donc il y a juste le coefficient 2 qui manque dans la fonction de départ donc pour qu'il n'y ait pas ce 2, il faut que tu prennes \(H(x)=\dfrac{1}{2}\text{e}^{x^2}\) pour que la dérivation retombe sur \(h\).
Bon courage
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Maeva
Re: Intégrales
Bonjour,
Je comprends votre argument mais mon problème perdure
comment faites vous pour passer de :
(ex2)′=2xex2
à :
H(x)=12ex2
ou passe le x de 2x ?
Merci de votre aide et à bientot
Je comprends votre argument mais mon problème perdure
comment faites vous pour passer de :
(ex2)′=2xex2
à :
H(x)=12ex2
ou passe le x de 2x ?
Merci de votre aide et à bientot
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sos-math(21)
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- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: Intégrales
Bonjour,
on est d'accord que \(\left(\text{e}^{x^2}\right)'=2x\text{e}^{x^2}\) : c'est la conséquence de la formule de dérivation \(\left(\text{e}^{u}\right)'=u'\times \text{e}^{u}\) où \(u(x)=x^2\) qui se dérive bien en \(2x\)
Donc en lisant dans l'autre sens, on a bien : \(x\mapsto \text{e}^{x^2}\) est une primitive de \(x\mapsto 2x\text{e}^{x^2}\).
Donc si on multiplie par \(\dfrac{1}{2}\) ces deux fonctions, comme l'intégration (comme la dérivation) sont des opérations linéaires , on a encore :
\(x\mapsto \dfrac{1}{2}\times \text{e}^{x^2}\) est une primitive de \(x\mapsto \dfrac{1}{2}\times 2x\text{e}^{x^2}\).
D'où le résultat.
Bonne continuation
on est d'accord que \(\left(\text{e}^{x^2}\right)'=2x\text{e}^{x^2}\) : c'est la conséquence de la formule de dérivation \(\left(\text{e}^{u}\right)'=u'\times \text{e}^{u}\) où \(u(x)=x^2\) qui se dérive bien en \(2x\)
Donc en lisant dans l'autre sens, on a bien : \(x\mapsto \text{e}^{x^2}\) est une primitive de \(x\mapsto 2x\text{e}^{x^2}\).
Donc si on multiplie par \(\dfrac{1}{2}\) ces deux fonctions, comme l'intégration (comme la dérivation) sont des opérations linéaires , on a encore :
\(x\mapsto \dfrac{1}{2}\times \text{e}^{x^2}\) est une primitive de \(x\mapsto \dfrac{1}{2}\times 2x\text{e}^{x^2}\).
D'où le résultat.
Bonne continuation