Inverse modulo b

[Yessine]

Bonjour,
dans l'énoncé du théorème de l'Inverses modulo b :
'Soit a et b deux entiers naturels non nuls tels que b>=2 et PGCD(a,b)=1.
Alors il existe un unique entier non nul u appartenant à {0,1, ...,b-1} tel que
a*u congru à 1 (mod b). On dit que u est un inverse de a modulo b.'
j'ai pas compris comment u est non nul et il appartient à un interval contenant 0 ??!!
Merci d'avance

[sos-math(21)]

Bonjour,
attention aux hypothèses de ce théorème : ce n'est pas parce qu'on dit il existe \(u\in\left\lbrace 0,1,\ldots,b-1\right\rbrace\) que ce nombre entier \(u\) va être égal à 0.
La formulation est certes un peu discutable sur la forme mais elle est tout à fait licite sur le fond, c'est juste que l'ensemble d'appartenance a été élargi en incluant le 0, qui d'ailleurs ne sera jamais l'inverse d'un entier modulo n, comme tu l'avais bien pressenti.
L'ensemble cité liste juste l'ensemble des restes possibles dans la division par \(b\) (c'est lié aux ensembles "quotients" qui se cachent derrière les congruence : \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\), mais cela ne doit pas être au programme de terminale).
C'est comme si je te disais "il existe un nombre \(x>0\) appartenant à \(\mathbb{R}\)". Ce n'est pas faux mais ce n'est pas optimisé au niveau de l'ensemble d'appartenance.
Est-ce plus clair ?

[Yessine]

oui, merci beaucoup

[SoS-Math(33)]

Bonne journée
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SoSmath