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Fonction exponentielle
Posté : sam. 4 janv. 2020 10:42
par Suzanna
Bonjour
Pouvez vous m'aider svp. J'ai essayé de remplacer en puissance 2x/2+1:2x/2-1 je ne sais pas comment reduire pour a) et la b) je ne sais pas
Re: Fonction exponentielle
Posté : sam. 4 janv. 2020 11:01
par SoS-Math(33)
Bonjour,
\(X+1 = \frac{2}{x-1} + 1 = \frac{2}{x-1} + \frac{x-1}{x-1} = \frac{2+x-1}{x-1} = \frac{1+x}{x-1}\)
Ensuite pour les limites : quand x tend vers 1 par valeurs inférieures, X tend vers -infini
et quand x tend vers 1 par valeurs supérieures, X tend vers +infini
Donc il te faut calculer
\(\lim_{X \to -\infty}X e^{X+1}\) et \(\lim_{X \to +\infty}X e^{X+1}\)
Re: Fonction exponentielle
Posté : sam. 4 janv. 2020 11:19
par Suzanna
Oui mais me demande pas vers -inf ou plus inf je ne comprend pas
Re: Fonction exponentielle
Posté : sam. 4 janv. 2020 11:35
par SoS-Math(9)
Bonjour Suzanna,
Ici il s'agit d'utiliser les limites composées.
Rappel du théorème : Si \(lim_{x \to a} g(x) = B\) et \(lim_{x \to B} f(x) = l\), alors \(lim_{x \to a} f(g(x)) = l\).
Tu remarqueras que la limite de f(x) se fait pour x tend vers B et non a (comme la limite de g(x)).
Donc dans ton exercice : \(lim_{x \to 1^+} \frac{2}{x-1} = +\infty\), donc tu vas calculer la limite \(lim_{X \to +\infty} X e^{X+1}\) pour obtenir par composition la limite de f(x) en \(1^+\).
SoSMath.
Re: Fonction exponentielle
Posté : sam. 4 janv. 2020 12:47
par Suzanna
Oui limite de X et limite e^X+1
Lim X soit _inf ou +inf
Lim e^X+1 =1
Quand x tend vers 1 pour x<1
Lim e^X+1=+inf
Quand x tend vers 1 pour x>1
Re: Fonction exponentielle
Posté : sam. 4 janv. 2020 13:29
par SoS-Math(9)
Suzanna,
tu as \(e^{X+1}=e^X \times e^1\).
\(lim_{X \to +\infty} X = +\infty\) et \(lim_{X \to +\infty} e^X = +\infty\) soit \(lim_{X \to +\infty} e^{X+1} = +\infty\)
Donc par produit \(lim_{X \to +\infty} Xe^{X+1} = +\infty\)
Il faut faire la même chose en - infini. (Attention aux limites de référence).
SoSMath.
Re: Fonction exponentielle
Posté : sam. 4 janv. 2020 14:44
par Suzanna
LimX = - inf
x--->-INF
LIM e^x =0
x-->-inf
Par produit lim f(x)=0 quand x tend vers -inf
Mais après je fais comment
Re: Fonction exponentielle
Posté : sam. 4 janv. 2020 15:41
par sos-math(21)
Bonjour,
Si tu veux la limite à gauche de 1, on a \(\lim_{x\to 1^-}\dfrac{2}{x-1}=-\infty\) donc cela revient bien à calculer \(\lim_{X\to-\infty}X\text{e}^{X+1}\)
Or on a encore \(X\text{e}^{X+1}=X\text{e}^{X}\times \text{e}^1\) et le cours sur les croissances comparées nous dit que \(\lim_{X\to-\infty}X\text{e}^{X}=0\)
Il te reste alors à conclure.
Pour t'en convaincre, trace ta fonction dans GeoGebra :
Bonne continuation
Re: Fonction exponentielle
Posté : mar. 7 janv. 2020 08:30
par Suzanna
Bonjour
Merci de m avoir aidé je comprends mieux. Bonne journée
Re: Fonction exponentielle
Posté : mar. 7 janv. 2020 16:39
par sos-math(21)
Bonjour,
tant mieux si nos explications t'ont aidée.
Bonne continuation