Bonjour,
Voici mon problème.
On dispose d'une urne contenant n jetons numérotés de 1 à n.
On tire successivement et avec remise un jeton dans cette urne jusqu'à ce que le numéro du jeton tiré soit supérieur ou égal au numéro du jeton tiré au tirage précédent. On note Xn la variable aléatoire égale au nombre de tirages effectués.
Pourquoi peut-on écrire que :
P(Xn>=k)= (n_________k-1) (c'est un coefficient binomial) multiplié par n^(k-1) ? Le Latex ne fonctionne pas, c'est normal ? Pourtant j'ai utilisé l'éditeur.
Et le corrigé écrit aussi que [Xn=2]={(i,j) tq 1 =< i < j =< n} U {(i,j) tq 1 =< i =< n}, alors card [Xn=2]=[n(n-1)]/2 + n
D'après mes camarades il y a une erreur dans cette égalité, mais comment la rectifier ? Surtout que je ne comprends pas pourquoi on peut écrire ça : [Xn=2]={(i,j) tq 1 =< i < j =< n} U {(i,j) tq 1 =< i =< n}... Pourriez-vous m'expliquer svp ?
Merci beaucoup par avance pour vos explications.
Probabilité
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Maëlle
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sos-math(21)
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- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: Probabilité
Bonjour,
es-tu sûre de ta formule pour \(P(X_n\geqslant k)\) ? (Pour écrire du latex, tu peux mettre tes formules entre les deux balise et )
Peux-tu la réécrire en latex ? je ne suis pas sûr de la multiplication, j'aurais plutôt dit une division.
En effet, pour avoir un nombre supérieur à son précédent au tirage \(k\), alors il faut avoir tiré une suite strictement décroissante de \(k-1\) entiers parmi les \(n\). On peut montrer par un raisonnement de dénombrement que ce nombre de suites strictement décroissantes correspond à \(\binom{n}{k-1}\). Puisqu'il y a en tout \(n^{k-1}\) tirages possibles, on aurait bien le quotient \(P(X_n\geqslant k)=\dfrac{\binom{n}{k-1}}{n^{k-1}}\).
Pour la suite, le succès arrive au tirage 2 si les suites \((i,j)\) sont telles que \(i<j\), ce qui correspond aux éléments d'un tableau de \(i\) lignes et \(j\) colonnes, situés au dessus de la diagonale donc leur nombre correspond bien à \(\dfrac{n(n-1)}{2}\) et je ne comprends pas ce que vient faire l'autre ensemble en réunion. je dirais donc que \(card([X_n=2])=\dfrac{n(n-1)}{2}\).
Bonne continuation
es-tu sûre de ta formule pour \(P(X_n\geqslant k)\) ? (Pour écrire du latex, tu peux mettre tes formules entre les deux balise
Code : Tout sélectionner
\(Code : Tout sélectionner
\)Peux-tu la réécrire en latex ? je ne suis pas sûr de la multiplication, j'aurais plutôt dit une division.
En effet, pour avoir un nombre supérieur à son précédent au tirage \(k\), alors il faut avoir tiré une suite strictement décroissante de \(k-1\) entiers parmi les \(n\). On peut montrer par un raisonnement de dénombrement que ce nombre de suites strictement décroissantes correspond à \(\binom{n}{k-1}\). Puisqu'il y a en tout \(n^{k-1}\) tirages possibles, on aurait bien le quotient \(P(X_n\geqslant k)=\dfrac{\binom{n}{k-1}}{n^{k-1}}\).
Pour la suite, le succès arrive au tirage 2 si les suites \((i,j)\) sont telles que \(i<j\), ce qui correspond aux éléments d'un tableau de \(i\) lignes et \(j\) colonnes, situés au dessus de la diagonale donc leur nombre correspond bien à \(\dfrac{n(n-1)}{2}\) et je ne comprends pas ce que vient faire l'autre ensemble en réunion. je dirais donc que \(card([X_n=2])=\dfrac{n(n-1)}{2}\).
Bonne continuation
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Maëlle
Re: Probabilité
Merci pour les explications.
Désolée, c'était bien une division !
Par contre, ce que je ne comprends toujours pas, c'est ça :
"On peut montrer par un raisonnement de dénombrement que ce nombre de suites strictement décroissantes correspond à (n______k−1)."
Pourriez-vous m'expliquer ce raisonnement s'il vous plaît ?
Désolée, c'était bien une division !
Par contre, ce que je ne comprends toujours pas, c'est ça :
"On peut montrer par un raisonnement de dénombrement que ce nombre de suites strictement décroissantes correspond à (n______k−1)."
Pourriez-vous m'expliquer ce raisonnement s'il vous plaît ?
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sos-math(21)
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- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: Probabilité
Bonjour,
effectivement, si tu veux une preuve rigoureuse d'un point de vue mathématique, il faudra aller chercher des éléments post-bac, comme la notion d'application injective et bijective. Voir exemple : http://leroy.cpge.free.fr/pdf/bcpst10/c ... atoire.pdf
On sait que le nombre de parties \(k-1\) éléments de \(\left\lbrace 1\,\ldots,n\right\rbrace\) est égal à \(\binom{n}{k-1}\) : tirage par poignées (simultané).
Si on prend une partie de \(k-1\) éléments de \(\left\lbrace 1\,\ldots,n\right\rbrace\), ces éléments étant distincts, on peut le réordonner par ordre décroissant, donc cela correspond bien à une suite strictement décroissante de \(k-1\) entiers entre 1 et \(n\). Donc on peut associer de manière bijective à toute partie de \(k-1\) éléments de \(\left\lbrace 1\,\ldots,n\right\rbrace\) une suite strictement décroissante \(k-1\) entiers entre 1 et \(n\).
Ces deux ensembles étant en bijection, ils ont le même cardinal d'où la réponse.
Est-ce plus clair ?
effectivement, si tu veux une preuve rigoureuse d'un point de vue mathématique, il faudra aller chercher des éléments post-bac, comme la notion d'application injective et bijective. Voir exemple : http://leroy.cpge.free.fr/pdf/bcpst10/c ... atoire.pdf
On sait que le nombre de parties \(k-1\) éléments de \(\left\lbrace 1\,\ldots,n\right\rbrace\) est égal à \(\binom{n}{k-1}\) : tirage par poignées (simultané).
Si on prend une partie de \(k-1\) éléments de \(\left\lbrace 1\,\ldots,n\right\rbrace\), ces éléments étant distincts, on peut le réordonner par ordre décroissant, donc cela correspond bien à une suite strictement décroissante de \(k-1\) entiers entre 1 et \(n\). Donc on peut associer de manière bijective à toute partie de \(k-1\) éléments de \(\left\lbrace 1\,\ldots,n\right\rbrace\) une suite strictement décroissante \(k-1\) entiers entre 1 et \(n\).
Ces deux ensembles étant en bijection, ils ont le même cardinal d'où la réponse.
Est-ce plus clair ?
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Maëlle
Re: Probabilité
Bonjour,
Merci pour la réponse mais malheureusement j'ai encore du mal à comprendre...
Dans le lien donné, vous prenez quelle preuve, la 1 ou la 2 ?
Déjà, je ne comprends même pas votre première phrase de votre raisonnement :
Je suis désolée de ne pas comprendre...
Merci beaucoup pour votre temps.
Merci pour la réponse mais malheureusement j'ai encore du mal à comprendre...
Dans le lien donné, vous prenez quelle preuve, la 1 ou la 2 ?
Déjà, je ne comprends même pas votre première phrase de votre raisonnement :
Comment peut-on savoir cela ?On sait que le nombre de parties k−1 éléments de {1…,n} est égal à (n____k−1) : tirage par poignées (simultané)
Je suis désolée de ne pas comprendre...
Merci beaucoup pour votre temps.
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sos-math(21)
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- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: Probabilité
Bonjour,
comment as-tu vu les coefficients binomiaux ? Est-ce que tu connais les arrangements ?
Pour reprendre à la base, je te suggère de lire ce document (à partir de la partie 2) : https://www.normalesup.org/~glafon/carn ... rement.pdf
On y reprend les éléments de base de la combinatoire et du dénombrement.
Si ton professeur te demande de répondre à des questions telles que celles que nous traitons alors que vous n'avez pas vu la base, alors c'est normal que tu ne comprennes pas la correction et mes explications.
En espérant que cela t'éclaire,
Bonne continuation
comment as-tu vu les coefficients binomiaux ? Est-ce que tu connais les arrangements ?
Pour reprendre à la base, je te suggère de lire ce document (à partir de la partie 2) : https://www.normalesup.org/~glafon/carn ... rement.pdf
On y reprend les éléments de base de la combinatoire et du dénombrement.
Si ton professeur te demande de répondre à des questions telles que celles que nous traitons alors que vous n'avez pas vu la base, alors c'est normal que tu ne comprennes pas la correction et mes explications.
En espérant que cela t'éclaire,
Bonne continuation