SOS-MATH

bonjour,
je n'arrive pas à lever l'indétermination sur la limite suivante :
lim quand x tend vers 1 de [(x^2018-1)/x-1].

Merci de votre aide.

Bonjour Marguerite,

Tu peux utiliser le fait que pour tout entier naturel n et tout réel q différent de 1 :
\(1+q+q^{2}+...+q^{n}=\frac{q^{n+1}-1}{q-1}\)
égalité que tu as dû découvrir en 1ère, lors de l'étude des suites géométriques.
Cela te permettra d'écrire ton quotient un peu différemment et de lever l'indétermination

Bonne recherche
sosmaths

Merci de votre réponse,
Si j'ai bien compris c'est la somme des termes d'une suite géométrique de raison x
c'est égal à 1+x+x²+ ....x^2017 donc lorsque x tend vers 1 la limite tend vers 2018.

Bonjour,
je pense que tu as compris l'indication de mon collègue.
Bonne continuation

Bonjour,

C'est exact.

Remarque : on peut aussi voir cette limite comme la limite, quand x tend vers 1, du taux d'accroissement de la fonction f(x)=\(x^{2018}\) entre x et 1

SoSMath.

Merci de votre aide.
J'ai encore une autre question concernant les limites :
en - l'infini limite de [ racine carrée(x²+x+1) -racine carrée(x²+1)]
J'ai essayé de multiplier par la quantité conjuguée mais ça ne m'a pas aidé à lever l'indétermination. Dois je ensuite utiliser un théorème de comparaison ?

Bonjour;
si tu multiplies par la quantité conjuguée, tu as \(\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2+1}=\dfrac{(\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2+1})(\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2+1})}{\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2+1}}=\dfrac{x^2+x+1-(x^2+1)}{\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2+1}}\)
donc
\(\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2+1}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2+1}}\) et là il te reste encore à factoriser au dénominateur :
\(\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2+1}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2\left(1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}\right)}+\sqrt{x^2\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)}}\)
Soit en sortant le \(x^2\) de la racine carrée, cela donne \(|x|\) qui vaut alors \(-x\), car on étudie la limite en \(-\infty\) et donc on suppose que \(x<0\).
on a donc : \(\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2+1}=\dfrac{x}{-x\left(\sqrt{1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}\right)}\).
je te laisse conclure
Bonne continuation

Bonjour,
merci de votre réponse, j'ai terminé et j'ai donc trouvé -1/2 comme limite.
Je me permet de vous poser à nouveau une question sur les limites dont certaines décidément me résistent.
Mon problème maintenant est la recherche de la limite en 0 de sinx/x. Je ne peux pas encadrer sinx entre -1 et 1 puisque je cherche la limite en 0, je ne sais pas comment m'y prendre.

Merci de votre aide. J'ai terminé et j'ai trouvé -1/2 comme limite.

Bonjour,
la limite est bien de \(-\dfrac{1}{2}\)
Pour la deuxième, il faut se servir du taux d'accroissement : tu sais que pour une fonction \(f\) dérivable en \(x_0\), \(\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=f'(x_0)\).
Ici ton quotient peut s'écrire \(\dfrac{\sin(x)-\sin(0)}{x}\). En reprenant ce que je viens de dire, tu peux voir la limite de ce quotient comme celle d'un taux d'accroissement d'une certaine fonction en 0, et cette limite vaudra alors le nombre dérivé de cette fonction en 0.
Je te laisse mettre cela en application,
Bonne continuation

Bonjour,
Merci . J'ai en effet utilisé cette démarche et j'ai trouvé 1.
Cordialement,
Marguerite

Bonjour,
c'est bien cela.
Bonne continuation