Spécialité TS - DM Matrices

[William TaleS]

Bonjour,

J'aurais besoin de votre aide sur le premier exercice de mon DM de spécialité (38 page 114 Manuel Nathan 2012). J'ai recopié l'énoncé avec mes réponses (voir PJ).

Je bloque au niveau de la démonstration. Je ne sais pas comment démontrer l'hérédité.

Je n'ai pas recopié la première étape de la démonstration par récurrence (initialisation) mais je vois bien qu'il faut calculer -2A^1 et A^1+1 pour démontrer que la propriété est vraie au rang n=1.

En vous remerciant par avance de l'aide que vous pourrez m'apporter.

Cordialement

[sos-math(21)]

Bonjour,
pour la propriété, il serait préférable d'avoir un expression qui ne dépende pas du rang précédent.
Je te propose de démontrer que pour tout entier \(n\in\mathbb{N}^*, A^n=(-2)^{n-1}A\)
L'initialisation se fait facilement \(A^1=A\) et \((-2)^{1-1}A=A\) donc c'est vrai au rang \(n=1\).
Il reste à regarder l'hérédité en se plaçant à un rang \(n\geqslant 1\) tel que l'on ait la propriété \(A^n=(-2)^{n-1}A\)
alors \(A^{n+1}=A^n\times A=(-2)^{n-1}A\times A\) or \(A^2=-2A\) d'après tes premiers calculs.
Je te laisse terminer,
Bonne continuation

[William TaleS]

Bonsoir,
J'ai cherché à vous répondre hier matin mais le forum ne voulait pas...
Je vous remercie pour votre aide. J'ai réussi à terminer mon exercice (en PJ).
En vous remerciant encore,
Cordialement

[sos-math(21)]

Bonjour,
ta rédaction est très rigoureuse et je te félicite pour la qualité de ton travail.
Bonne continuation