Bonjour,
Merci beaucoup pour ces explications qui m'aident.
J'ai réussi à trouver l'équivalent !
Par contre je bloque encore à la dernière question...
Par quoi majorer ? Et ensuite une fois qu'on a la majoration que peut-on faire ?
Merci beaucoup, je suis censée rendre ce travail demain....
Exo suites
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Inès
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sos-math(21)
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Re: Exo suites
Bonjour,
ta suite \((u_n)\) est croissante donc elle est minorée par son premier terme : \(u_n\geqslant u_0\) pour tout entier \(n\geqslant 0\) donc pour tout entier \(n\), tu as \(\dfrac{1}{2^nu_n}\leqslant \dfrac{1}{2^nu_0}\) qui est le terme général d'une série convergente (série géométrique) donc d'après les propriété de comparaison des séries : http://uel.unisciel.fr/mathematiques/se ... re_09.html, tu obtiens que ta série de terme général \(\dfrac{1}{2^nu_n}\) est convergente.
Bonne conclusion
ta suite \((u_n)\) est croissante donc elle est minorée par son premier terme : \(u_n\geqslant u_0\) pour tout entier \(n\geqslant 0\) donc pour tout entier \(n\), tu as \(\dfrac{1}{2^nu_n}\leqslant \dfrac{1}{2^nu_0}\) qui est le terme général d'une série convergente (série géométrique) donc d'après les propriété de comparaison des séries : http://uel.unisciel.fr/mathematiques/se ... re_09.html, tu obtiens que ta série de terme général \(\dfrac{1}{2^nu_n}\) est convergente.
Bonne conclusion
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Inès
Re: Exo suites
Merci beaucoup !
Et j'ai une toute dernière question : pour la 3.b vous m'aviez dit de faire des encadrements successifs. C'est ce que j'ai fait mais en fait je me suis trompée, je n'arrive pas à trouver le résultat demandé par la question...
Est-ce que vous pourriez m'aider une dernière fois s'il vous plaît ?
Merci encore.
Et j'ai une toute dernière question : pour la 3.b vous m'aviez dit de faire des encadrements successifs. C'est ce que j'ai fait mais en fait je me suis trompée, je n'arrive pas à trouver le résultat demandé par la question...
Est-ce que vous pourriez m'aider une dernière fois s'il vous plaît ?
Merci encore.
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sos-math(21)
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Re: Exo suites
Bonjour,
j'ai quand même l'impression d'avoir fait tout l'exercice....
Je t'ai dit d'exprimer les inégalités que tu avais déjà obtenues :
\(v_{n+1}-v_n=\dfrac{1}{2^{n+1}}\ln\left(1+\dfrac{1}{u_n}\right)\leqslant \dfrac{1}{2^{n+1}}\dfrac{1}{u_n}\) d'après la relation du ln
tu écris ces relations aux rangs :
\(v_{n+p}-v_{n+p-1}=\dfrac{1}{2^{n+p}}\ln\left(1+\dfrac{1}{u_{n+p-1}}\right)\leqslant \dfrac{1}{2^{n+p}}\dfrac{1}{u_{n+p-1}}\leqslant \dfrac{1}{2^{n+p}} \dfrac{1}{u_n}\) car ta suite \((u_n)\) est croissante
puis la suivante....
jusqu'à \(v_{n+1}-v_n=\dfrac{1}{2^{n+1}}\ln\left(1+\dfrac{1}{u_n}\right)\leqslant \dfrac{1}{2^{n+1}}\dfrac{1}{u_n}\)
il y a des simplification dans le membre du milieu et tu obtiens \(v_{n+p}-v_n\)
À droite, tu as : \(\left(\dfrac{1}{2^{n+p}}+....+\dfrac{1}{2^{n+1}}\right)\dfrac{1}{u_n}\) c'est la somme des termes d'une suite géométrique que tu sais calculer et là je te laisse faire.
Bonne continuation
j'ai quand même l'impression d'avoir fait tout l'exercice....
Je t'ai dit d'exprimer les inégalités que tu avais déjà obtenues :
\(v_{n+1}-v_n=\dfrac{1}{2^{n+1}}\ln\left(1+\dfrac{1}{u_n}\right)\leqslant \dfrac{1}{2^{n+1}}\dfrac{1}{u_n}\) d'après la relation du ln
tu écris ces relations aux rangs :
\(v_{n+p}-v_{n+p-1}=\dfrac{1}{2^{n+p}}\ln\left(1+\dfrac{1}{u_{n+p-1}}\right)\leqslant \dfrac{1}{2^{n+p}}\dfrac{1}{u_{n+p-1}}\leqslant \dfrac{1}{2^{n+p}} \dfrac{1}{u_n}\) car ta suite \((u_n)\) est croissante
puis la suivante....
jusqu'à \(v_{n+1}-v_n=\dfrac{1}{2^{n+1}}\ln\left(1+\dfrac{1}{u_n}\right)\leqslant \dfrac{1}{2^{n+1}}\dfrac{1}{u_n}\)
il y a des simplification dans le membre du milieu et tu obtiens \(v_{n+p}-v_n\)
À droite, tu as : \(\left(\dfrac{1}{2^{n+p}}+....+\dfrac{1}{2^{n+1}}\right)\dfrac{1}{u_n}\) c'est la somme des termes d'une suite géométrique que tu sais calculer et là je te laisse faire.
Bonne continuation
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Inès
Re: Exo suites
Merci beaucoup.
Et pour calculer 1/2^(n+p) + ... + 1/2^(n+1), je reconnais bien une suite géométrique de raison 1/2.
Mais pour moi cette somme vaut d'après la formule 1/2^p et non 1/2^n comme le dit l'énoncé... Alors où est l'erreur ?
Merci encore.
Et pour calculer 1/2^(n+p) + ... + 1/2^(n+1), je reconnais bien une suite géométrique de raison 1/2.
Mais pour moi cette somme vaut d'après la formule 1/2^p et non 1/2^n comme le dit l'énoncé... Alors où est l'erreur ?
Merci encore.
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sos-math(21)
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Re: Exo suites
Bonjour,
ta somme vaut : \(\text{premier terme}\times \dfrac{1-\text{raison}^{\text{nbre de termes}}}{1-\text{raison}}=\dfrac{1}{2^{n+1}}\times \dfrac{1-\dfrac{1}{2^p}}{1-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{2^n}\times \left(1-\dfrac{1}{2^p}\right)\leqslant \dfrac{1}{2^n}\) : il faut ensuite majorer par 1.
Donc on a bien le résultat.
Bonne continuation
ta somme vaut : \(\text{premier terme}\times \dfrac{1-\text{raison}^{\text{nbre de termes}}}{1-\text{raison}}=\dfrac{1}{2^{n+1}}\times \dfrac{1-\dfrac{1}{2^p}}{1-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{2^n}\times \left(1-\dfrac{1}{2^p}\right)\leqslant \dfrac{1}{2^n}\) : il faut ensuite majorer par 1.
Donc on a bien le résultat.
Bonne continuation
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Inès
Re: Exo suites
D'accord !
Et je me suis aperçu d'une chose :
Pourquoi aurait-on 1/u(n+p-1) inférieur ou égal à 1/u(n) ?
Si p=0 il y a par exemple un problème, non ?
Merci beaucoup.
Et je me suis aperçu d'une chose :
Pourquoi aurait-on 1/u(n+p-1) inférieur ou égal à 1/u(n) ?
Si p=0 il y a par exemple un problème, non ?
Merci beaucoup.
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sos-math(21)
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Re: Exo suites
Bonjour,
si \(p=0\), tu as un cas particulier trivial : \(v_n-v_n=0\) et il n'y a rien à faire, l'encadrement en bien évidemment vrai.
Tout le travail que l'on a fait s'applique avec \(p\geqslant 1\).
Ces inégalités sont toujours écrites sous réserve d'avoir du sens car le problème se posera si tu écris l'inégalité suivante et tu auras \(p-2\).
Si on commence à dire "et si \(p=1\) ? ", on n'en sortira pas : c'est le principe d'une écriture formelle qui permet de montrer des mécanismes en supposant que les conditions d'écritures soient vérifiées.
Bonne continuation
si \(p=0\), tu as un cas particulier trivial : \(v_n-v_n=0\) et il n'y a rien à faire, l'encadrement en bien évidemment vrai.
Tout le travail que l'on a fait s'applique avec \(p\geqslant 1\).
Ces inégalités sont toujours écrites sous réserve d'avoir du sens car le problème se posera si tu écris l'inégalité suivante et tu auras \(p-2\).
Si on commence à dire "et si \(p=1\) ? ", on n'en sortira pas : c'est le principe d'une écriture formelle qui permet de montrer des mécanismes en supposant que les conditions d'écritures soient vérifiées.
Bonne continuation
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Inès
Re: Exo suites
Alors là je ne comprends plus rien, désolée...
Ensuite on écrit bien pour p-2 donc p supérieur ou égal à 2 ?
Mais donc on est plus du tout dans un cas général ?
Ensuite on écrit bien pour p-2 donc p supérieur ou égal à 2 ?
Mais donc on est plus du tout dans un cas général ?
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Inès
Re: Exo suites
Et en plus on n'a pas montré que 0 inférieur ou égal à v(n+p)-v(n), n'est-ce pas ?
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sos-math(21)
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Re: Exo suites
Bonjour,
les inégalités successives qu'on écrit se font de manière formelle, c'est-à-dire sous réserve qu'elles aient du sens.
Donc on raisonne de manière générale en supposant (implicitement) que ces inégalités ont du sens au niveau des indices.
Il y a seulement le cas où \(p=0\) qui donne \(0\leqslant v_n-v_n (=0)\leqslant \dfrac{1}{2^nu_n}\), ce qui est vrai bien entendu et ne demande pas d'écrire les inégalités en cascade.
Dès qu'on a \(p\geqslant 1\), on peut écrire une série de \(p\) inégalités en cascade avec simplification des termes.
Bonne continuation
les inégalités successives qu'on écrit se font de manière formelle, c'est-à-dire sous réserve qu'elles aient du sens.
Donc on raisonne de manière générale en supposant (implicitement) que ces inégalités ont du sens au niveau des indices.
Il y a seulement le cas où \(p=0\) qui donne \(0\leqslant v_n-v_n (=0)\leqslant \dfrac{1}{2^nu_n}\), ce qui est vrai bien entendu et ne demande pas d'écrire les inégalités en cascade.
Dès qu'on a \(p\geqslant 1\), on peut écrire une série de \(p\) inégalités en cascade avec simplification des termes.
Bonne continuation