Exo suites

[Inès]

Bonsoir SoS-Math,

Je vous avais déjà contacté pour un exercice à faire d'approfondissement de la TS.

J'ai aujourd'hui un autre exercice à faire : mon professeur m'a dit que c'était un mix de sommes et de suites, des séries. Il m'a dit que c'était globalement faisable avec le programme de TS, ainsi qu'avec la définition d'introduction dans l'exercice. Il m'a aussi dit que je pouvais m'aider des propriétés que je comprenais listées ici : http://math.univ-lyon1.fr/~oger/enseign ... 3%A9mo.pdf. Apparemment il a dit qu'il faudrait probablement utiliser la comparaison des séries positives et les séries géométriques, un peu comme les suites géométriques de Première il m'a dit...

Voici l'exercice :

Mes pistes pour la question 1 : une étude de la fonction f(x)=x+x² ? Mais je ne vois pas où cela mènerait...

Question 2.a : là je ne vois pas trop : un raisonnement par récurrence peut-être ? J'ai essayé mais je ne suis pas sûre de ma propriété de récurrence...

Merci beaucoup pour l'aide et bon week-end.

Votre aide m'aide grandement !

[SoS-Math(9)]

Bonjour Ines,

Pour la question 1, tu peux monter facilement que (\(u_n\)) est croissante.
Ensuite tu peux faire un raisonnement par l'absurde pour montrer qu'elle n'est pas majorée (ta suite est donc croissante et non majarée, donc elle diverge vers +\(\infty\)).

Pour la question 2a, il faut calculer \(v_{n+1}-v_n\). Après simplification tu dois trouver \(\frac{1}{2^{n+1}}ln(1+\frac{1}{u_n})\).
Avec cela tu dois pouvoir répondre à la question.

SoSMath.

[Inès]

Merci beaucoup pour votre réponse.

Pour la 1, OK pour montrer qu'elle est croissante.

Pour le raisonnement par l'absurde :

Supposons que la suite admette une limite finie l.

l est solution de l'equation l=l+l^2 donc l=0 ce qui est impossible car ?? Pourquoi ce serait impossible ? Et sinon la rédaction est bonne ?

Pour la 2.a, j'ai compris le principe, mais comment avez-vous trouvé ce résultat ? Je n'arrive pas à finir le calcul pour trouver comme vous...

Auriez-vous une piste pour la 2.b ? Que j'y réfléchisse cet après-midi...

Merci encore !

[sos-math(21)]

Bonjour,
pour montrer que ta suite est divergente, tu peux faire un raisonnement par l'absurde comme tu l'as commencé : si ta suite est convergente alors elle converge vers un réel \(\ell\) vérifiant \(\ell+\ell^2=\ell\), donc \(\ell = 0\).
Si la limite de la suite vaut 0, cela signifie que l'on peut s'approcher aussi près que l'on veut de 0 avec des termes de la suite : autrement dit, pour tout réel \(\epsilon>0\), il existe un entier \(N\) tel que pour tout entier \(n\geqslant N\), \(u_n\leqslant \epsilon\) (c'est la définition de la limite d'une suite dans le supérieur).
Donc si on prend \(\epsilon=\dfrac{u_0}{2}\), il existe un entier \(N\) tel que pour tout entier \(n\geqslant N\), \(u_n\leqslant \dfrac{u_0}{2}\). La suite étant croissante on aura donc pour \(n\geqslant N\), \(u_0\leqslant u_n\leqslant \dfrac{u_0}{2}\), ce qui est impossible car \(u_0>0\), donc contradiction.
Pour la 2, on forme la différence \(v_{n+1}-v_n=\dfrac{1}{2^{n+1}}\ln(u_{n+1}) - \dfrac{1}{2^{n}}\ln(u_{n}) = \dfrac{1}{2^{n+1}}\ln(u_{n+1}) - \dfrac{2}{2^{n+1}}\ln(u_{n})=\dfrac{1}{2^{n+1}}\ln(u_{n+1}) - \dfrac{1}{2^{n+1}}\ln(u_{n}^2)\) : on rentre le 2 du numérateur comme un carré dans le logarithme : \(2\ln(a)=\ln(a^2)\).
On a donc en factorisant : \(v_{n+1}-v_n=\dfrac{1}{2^{n+1}}\left(\ln(u_{n+1})-\ln(u_n^2)\right)=\dfrac{1}{2^{n+1}}\ln\left(\dfrac{u_{n+1}}{u_n^2}\right)=\dfrac{1}{2^{n+1}}\ln\left(\dfrac{u_n+u_n^2}{u_n^2}\right)=\dfrac{1}{2^{n+1}}\ln\left(1+\dfrac{1}{u_n}\right)\)
Bonne continuation

[Inès]

Merci beaucoup pour votre réponse, c'est vraiment très clair !

Par contre, pourquoi peut-on en déduire que c'est inférieur ou égal à 1/2^(n+1) ? Je ne vois pas comment on peut passer de l'égalité obtenue à l'inégalité demandée...

Pour la 2.b : j'ai une idée. Déjà on voit que les séries kn et vn sont à termes positifs, donc on va pouvoir utiliser les propriétés des séries à termes positifs qu'il y a dans le PDF que j'ai envoyé.

Mais comment continuer ? Car j'ai vu sur Internet que 1/2^(n+1) est une série qui converge, mais je n'ai pas le droit d'utiliser cette propriété qui n'est pas au programme. Donc je ne vois pas comment montrer la convergence...
Avez-vous une idée ?

Merci encore pour vos explications.

[SoS-Math(9)]

Inès,

ln(1 + 1/\(u_n\)) tend vers 0 car \(u_n\) tend vrers + \(\infty\).
Donc à partir d'un certain rang, on aura ln(1 + 1/\(u_n\)) < 1. D'où l'inégalité.

La série de terme générale (1/2)^(n+1) converge … tu sais calculer la somme des terme d'une suite géométrique (programme) de 1ère) donc tu peux calculer la somme de la série de terme générale (1/2)^(n+1) … et donc prouver que la série de terme générale \(k_n\) converge.

SoSMath.

[Inès]

OK pour la 2.a, merci !

Comment sait-on que la série de terme générale (1/2)^(n+1) converge ?

Je le perçois bien, mais comment le démontrer ? En fait, comment démonter que la série de terme général kn converge ?

Merci beaucoup.

[sos-math(21)]

Bonjour,
c'est une série géométrique et on peut se servir des suites géométriques pour le démontrer :
si on se place à un entier \(N\), on a \(\sum_{n=0}^{N}\dfrac{1}{2^k}=\dfrac{1-\dfrac{1}{2^{N+1}}}{1-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{2^{N+1}}\right)\)
Donc lorsque \(N\to +\infty\), le terme \(\dfrac{1}{2^{N+1}}\) tend vers 0 (raison <1) donc la série \(\sum_{}^{} \dfrac{1}{2^{n}}\) converge vers \(\dfrac{1}{2}\).
Bonne continuation

[Inès]

Merci, j'ai compris !

Pour la fin de la 2.b, donc là on a bien montré que la série de terme général kn est convergente ? Ensuite, comment en déduire que (vn) est convergente ? Je pense à la croissance et à la majoration mais je ne vois pas encore comment le rédiger...

Pour la 3.a, c'est simple...

Pour la 3.b : il faut prendre x=quoi d'après la question 3.a ?

Merci infiniment !

[sos-math(21)]

Bonjour,
tu as établi que \(v_{n+1}-v_n\leqslant \dfrac{1}{2^{n+1}}\). D'après les théorèmes de comparaison, on a donc établi que la série \(\sum_{}^{}v_{n+1}-v_n\) est convergente.
Or c'est une série "télescopique" : les termes vont se simplifier les uns les autres.
Regarde la somme partielle \(\require{cancel}\sum_{n=0}^{N}v_{n+1}-v_n=\cancel{v_1}-v_0+\cancel{v_2}-\cancel{v_1}+\cancel{v_3}-\cancel{v_2}+.....+v_{N+1}-\cancel{v_N}= v_{N+1}-v_0\) car les termes se simplifient donc si la série converge, la suite converge.
Pour la 3b, tu pars de \(v_{n+1}-v_n=\dfrac{1}{2^{n+1}}\ln\left(1+\dfrac{1}{u_n}\right)\leqslant \dfrac{1}{2^{n+1}}\dfrac{1}{u_n}\) d'après la relation du a en l'appliquant à \(x=\dfrac{1}{u_n}\).
on a donc \(0\leqslant v_{n+1}-v_n\leqslant \dfrac{1}{2^{n+1}}\dfrac{1}{u_n}\) : car la suite \((v_n)\) est croissante (différence entre deux termes successifs supérieure à 0)
Et ensuite tu recommences au rang \(n+1\), \(n+2\), ....\(n+p\) cela te fera plusieurs encadrement que tu pourras ajouter entre eux, il y aura encore des simplifications.
Je te laisse commencer cela mais je ne suis pas sûr de l'issue...
Bonne continuation

[Inès]

Merci beaucoup pour toutes ces explications.

J'ai encore 2 questions avant de rédiger :

1. Pourquoi peut-on affirmer que si la série converge, la suite converge ?

2. Pourquoi vous n'êtes pas sûr de l'issue ? Pour quelle question ?

Je vais commencer à rédiger, merci encore.

Comme le forum est fermé, je te réponds dans ton message
Pour ta question 1, relis mon message, j'ai fait le lien entre ta suite et la somme partielle : si ta série converge, la suite des sommes partielles converge et la suite converge
2) je ne suis pas sûr de ma méthode pour l'inégalité \(0\leqslant v_ {n+p}-v_n\leqslant ...\) car je n'ai pas poussé la question jusqu'au bout, voilà tout, il faut poursuivre le calcul du membre de droite.

[Inès]

Merci beaucoup pour votre réponse.

J'ai continué le calcul de la question 3.b et cela fonctionne bien, merci beaucoup !

Pour la 3.c, comment puis-je trouver la limite demandée ? Je n'ai pas réussi...

Et pour l'équivalent, il faut le déduire de quoi ? Je sais seulement que la limite du rappirt de u_n et de l'équivalent doit donner 1...
Comment donc trouver l'équivalent ?

Merci encore pour votre aide.

[sos-math(21)]

Bonjour,
Tu as démontré que pour tout entier naturel \(n\) et \(p\), tu as :
\(0\leqslant v_{n+p}-v_n\leqslant \dfrac{1}{2^{n}}\dfrac{1}{u_n}\) donc en multipliant par \(2^n\), tu as :
\(0\leqslant 2^n v_{n+p}-2^nv_n\leqslant\dfrac{1}{u_n}\) or \(2^nv_n\) est égale à \(\ln(u_n\) donc tu as :
pour tout entier \(p\) :
\(0\leqslant 2^n v_{n+p}-\ln(u_n)\leqslant \dfrac{1}{u_n}\) donc en faisant tendre \(p\) vers \(+\infty\) et sachant que \(v_{n+p}\to \alpha\), on a pour tout entier \(n\) :
\(0\leqslant 2^n\alpha-\ln(u_n)\leqslant \dfrac{1}{u_n}\)
Ensuite, ceci étant vrai pour tout entier \(n\) et sachant que \(\dfrac{1}{u_n}\to 0\) (car \(u_n\to +\infty\)), tu appliques le théorème des gendarmes qui t'assure que la suite \( (2^n\alpha-\ln(u_n))\) est convergente de limite 0.
Bonne continuation

[Inès]

Merci beaucoup.

Et comment peut-on ensuite trouver un équivalent de (u_n) ?

Et pourriez-vous me donner une piste pour la dernière question ?

Merci encore de m'aider.

[sos-math(21)]

Bonjour
si tu sais que \(2^n\alpha-\ln(u_n)\) tend vers 0, alors tu as l'équivalent \(\ln(u_n)\sim 2^n\alpha\) et il te reste à passer à l'exponentielle...
Pour la convergence de la série, il suffit de la majorer par le terme général d'une série convergente de la forme \(\dfrac{1}{2^n}\).
Bonne continuation