dm suite et algorithme

[daniel]

Bonjour, j'ai un dm à rendre dans quelques jours. Mais il me reste un exo à boucler et j'y arrive pas trop.

"Pour tout n\(\geq\)1, on définit deux suites (Un) et (Vn) par : U1=1 V1=12 Un+1= \(\frac{Un+2Vn}{3}\) Vn+1=\(\frac{Un+3Vn}{4}\)
On définis également la suite (Wn) par Wn= Vn-Un

1) Calculer W1, U2, V2, et W2 : c'est ce que j'ai fait et j'ai trouvé W1=11 U2= \(\frac{25}{3}\) V2=\(\frac{37}{4}\) et W2=\(\frac{11}{12}\)

2) On donne ci-contre un programme en python
a) exécuter manuellement ce programme pour n=3 en indiquant dans le tableau ci-dessous les valeurs des variables sous forme fractionnaire
On rappelle que l'instruction for i in range (n) signifie pour i allant de 0 à n-1

J'ai complété une partie du tableau ( cf. pièce jointe, ainsi que l'algorithme)
ensuite arrive la question 3) où l'on me demande de compléter le programme pour qu'il calcule et donne la valeur de Sn ( Sn= 3Un+ 8Vn)
Je pense que je dois modifier la ligne 9 et y saisir la suite S= Sn= 3Un+ 8Vn
ligne 10 return (U,V,W,S)
et je n'est aucune idée pour la 11ème ligne

Ensuite je ne sais pas quoi mettre dans les autres cases vides du tableau

Merci de votre attention et j'attend de vous lire avec impatience
Daniel

[sos-math(21)]

Bonjour,
Si tu as n=3, cela signifie que tu exécutes 3 fois les instructions de ta boucle (de 0 à n-1 donc de 0 à 2 inclus donc 3 fois), c'est bien pour cela que tu as 3 lignes.
ta variable i est le compteur de boucle : en python, avec range(3), il va valoir successivement 0, 1 puis 2 : tu peux donc mettre ces valeurs dans la colonne i.
En revanche, ton affectation w = s-u n'est pas dans la boucle donc il ne devrait y avoir qu'une affectation de w en sortie de boucle, dans une ligne supplémentaire de ton tableau, en dessous de la dernière exécution de la boucle.
Ta suite \((S_n)\) peut être traduite par une variable s que tu initialises à 3u+8v en déclarant

Code : Tout sélectionner

s = 3*u + 8*v

(ou directement s = 99) entre la ligne 3 et la boucle for.
Tu dois ensuite l'actualiser à chaque tour de boucle, en écrivant la même instruction

Code : Tout sélectionner

s = 3*u + 8*v

après les affectations de u et v dans la boucle pour.
Bonne continuation

[Daniel]

Merci de votre réponse elle m’a bien aidé, j’ai réussi à poursuivre mon exo mais j'aurais une question. On me demande quel conjectures je peut faire concernant les convergences de (Un), (Vn), et (Wn) .

Les deux suites convergent vers un réel l et il faut appliquer le théorème des gendarmes ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
ta variable w mesure l'écart entre les deux suites : si tu appelles plusieurs fois ta fonction suites(10), suites(15), suites(30), tu dois voir que w est de plus en plus petit donc que la suite \((w_n)\) convergerait vers 0 et que les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) convergeraient vers le même réel, ici 9.
Il faudrait ensuite le démontrer....
Bonne continuation

[Daniel]

Bonjour, comment puis-je prouver que la suite Wn est géométrique sans calculer le quotient Wn+1/Wn ?

[sos-math(27)]

Bonjour,
Pour prouver qu'une suite est géométrique, il faut prouver que : \(w_{n+1}= q \times w_n\) pour tout \(n\) entier naturel, q étant constant.
Cela revient donc à montrer que : \(\frac{w_{n+1}}{w_n}\) est constant pour tout n entier
On peut faire un calcul direct ou une récurrence selon le cas, mais on peut difficilement faire sans calcul de démonstration.
à bientôt