SOS-MATH

Bonjour, j'ai un devoir maison et je suis bloqué à une question .

L'énoncer: Pour tout entier naturel n\(\geq\) 1, on note n! ( on lit factorielle de n), le produit de tous les entiers de 1 à n c'est-à-dire que n!= 1X2X3...Xn ( ce sont des multipliés).

a) Expliquer pourquoi n! \(\geq\) n
b) Déterminer lim n!

J'en suis au a) et j'ai raisonnée par récurrence mais je ne sais pas si c'est une bonne idée ? J'en suis à l'hérédité, voici ce que j'ai rédigée..

On suppose qu'il existe un entier n=0 tel que n! \(\geq\) n
On veut démontrer que n!+1 \(\geq\) n+1
Pourriez vous m'aider s'il vous-plait en m'éclairant sur la bonne démarche à adopter ?

Merci, cordialement Eva

Bonjour,
ton hypothèse de récurrence est correcte mais ton hérédité ne fonctionne pas : il faudrait avoir \((n+1)!\geqslant n+1\) et pas \(n!+1\geqslant n+1\)
Donc il faut que tu partes de l'hypothèse de récurrence : on suppose qu'il existe un entier \(n\) tel que \(n!\geqslant n\).
Il faut trouver un lien entre le rang et le rang \(n+1\) : tu as \((n+1)!=\underbrace{1\times 2\times \ldots \times n}_{n!}\times (n+1)=n!\times (n+1)\)
Donc en multipliant les deux membres de l'inégalité par \((n+1)\), tu as : \(n!\times (n+1)\geqslant n(n+1)\). Comme \(n\geqslant 1\), en multipliant les deux membres de l'inégalité par \(n+1\) qui est positif, l'inégalité est conservée et on a :
\(n\times (n+1)\geqslant 1\times (n+1)\) d'où l'inégalité \(n(n+1)\geqslant n+1\).
Au final, en reprenant le début du calcul, on a bien \((n+1)!\geqslant n+1\), ce qui traduit que l'inégalité est vraie au rang n+1.
Bonne continuation

Merci de votre réponse, j’ai corriger mon erreur mais du coup je ne comprend pas bien comment on passe à n(n+1)\(/geq\) 2n \(/geq\) n+1 , est-il possible que vous m’expliquez s’il vous plaît ?

Bonjour,
en fait il y a plus simple que ce que je t'ai dit auparavant :
tu as \(n\geqslant 1\) donc en multipliant les deux membres de l'inégalité par \(n+1\) qui est positif, l'inégalité est conservée et on a :
\(n\times (n+1)\geqslant 1\times (n+1)\) d'où l'inégalité \(n(n+1)\geqslant n+1\).
Au final, en reprenant le début du calcul, on a bien \((n+1)!\geqslant n+1\), ce qui traduit que l'inégalité est vraie au rang n+1.
Est-ce plus clair ? Je corrige mon message précédent pour laisser l'explication la plus simple.
Bonne continuation