Exo Matrice

[Inès]

Bonsoir,

Tout d'abord, merci beaucoup à Sos-Math pour son aide sur mon précédent exercice (Matrice), et en particulier à Sos-21 qui m'a bien aidée sur la fin.

J'ai un autre exercice, mais celui-ci est un exercice que le professeur nous a donné, en nous précisant que c'est un exercice difficile pour ceux qui aimeraient faire une prépa avec des maths l'année prochaine. Je l'ai donc essayé, mais j'ai du mal. Le voici :

Pour la question 1, le calcul du rang, j'ai regardé une méthode sur Internet car je ne comprenais pas ce que le prof voulait dire par "nombre de colonnes linéairement indépendantes", et voici ce que je propose pour commencer :

\(B=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \; car \; on \; fait \; : \; L1\leftarrow L1\\ 0 & 0 & 0 & \; car \; on \; fait \; : \; L2\leftarrow L2 - 2 L1\\ 0 & 2 & 0 & \; car \; on \; fait \; : \; L3\leftarrow L3 -3 L1 \end{pmatrix}\)

Mais ensuite, comment trouver le rang ? Je n'arrive pas à terminer la méthode que j'ai trouvée : http://www.pcsijbmath.sitew.fr/fs/Root/ ... atrice.pdf

Pourriez-vous donc m'aider s'il vous plaît ? Mon prof a dit que cet exercice ne sera probablement pas corrigé car il n'aura pas le temps mais moi j'aimerais savoir car cela m'intéresse et cela me prépare à l'année prochaine...

Merci beaucoup par avance pour votre aide.

[sos-math(21)]

Bonjour,
le rang d'une matrice peut s'obtenir en transformant les lignes et colonnes jusqu'à ce que tu obtiennes une matrice échelonnée, c'est-à-dire une matrice qui contiendra un nombre croissant de 0 dans ses colonnes ou dans ses lignes.
Tu y es presque :
\(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3& \; en \;faisant \; : \; L3\leftarrow L1-L3\\ 0 & 0 & 0 & \\ 0 & 2 & 0 & \; \end{pmatrix}\)
Tu vois ensuite que la première et la 3ème colonne sont proportionnelles donc linéairement dépendantes, et que la deuxième et la troisième sont linéairement indépendantes donc tu as deux colonnes linéairement indépendantes et ta matrice est de rang 2
Tu peux le vérifier avec Géogébra.

[Inès]

OK, merci pour votre aide !

Et pour l'image de la matrice il faut construire un système d'équations ou pas ? Si oui, lequel établir ?

Merci encore.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Ines,

Il faut résoudre le système AX = Y soit \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 6\\ 3 & 8 & 9 \end{pmatrix}\) \(\begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix}\) = \(\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}\).
En principe tu dois trouver l'équation d'un plan …

SoSMath.

[Inès]

OK, merci !

Mais ici les inconnues c'est a, b et c ou x, y et z ?

Pas sûr d'avoir bien compris...

[Inès]

Finalement j'ai fait des recherches sur Internet à propos de l'algèbre.

Avec mes recherches, je pense que l'on peut écrire ceci : Im(B)=Vect((1,2,3),(2,4,8),(3,6,9)).
Est-ce que c'est juste ? Et ça suffit comme réponse pour l'image de B ? Pas sûre...

Pour le noyau :

j'ai fait un système :

AX=0

d'où :

x1+2x2+3x3=0
2x1+4x2+6x3=0
3x1+8x2+9x3=0

après calculs j'obtiens x1=-3x3 et x2=0.

Donc si x appartient au noyau alors x=x3(-3,0,1).

Est-ce que c'est correct ? Je me suis inspirée de tout ce que j'ai trouvé sur Internet, mais ce n'est pas du niveau du TS, donc je ne suis pas sûre...

Pour la question 2.a :

pourquoi il est écrit "selon les cas" au début de la question ? Quels cas faudrait-il distinguer ? Là je ne vois pas du tout...

Pour la 2.b : déjà comment calculer tUU ?

Pourriez-vous me donner des pistes pour ces 2 questions 2.a et 2.b et me dire ce que vous pensez de ce que j'ai écrit pour la 1 au-dessus ?
Comme ça je pourrai le travailler dimanche après-midi car malheureusement le forum ferme et je ne pourrai pas vous renvoyer de question d'ici lundi... Mais si vous me donnez des pistes, j'aurai de quoi travailler et vous donner d'autres propositions !

Merci beaucoup pour votre aide !!

[sos-math(21)]

Bonjour,
Pour le noyau, cela me paraît correct.
Pour l'image, il faut résoudre le système :
\(\left(\begin{array}{r}x + 2 \; y + 3 \; z\\2 \; x + 4 \; y + 6 \; z\\3 \; x + 8 \; y + 9 \; z\\\end{array}\right)=\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}\)
soit :
\(\left\lbrace\begin{array}{rcl}x'&=&x+2y+3z\\y'&=&2x+4y+6z\\z'&=&3x+8y+9z\end{array}\right.\)
Il faut ensuite faire des combinaisons linéaires pour obtenir une équation de la forme \(ax'+by'+c'z=0\).
Bon courage

[Inès]

OK, merci. Je vais faire ça.

Et pour les questions 2.a et 2.b, auriez-vous des pistes svp ? Notamment sur les différents cas à distinguer à la 2.a...

Merci encore, en espérant que vous pourrez me répondre d'ici la fermeture du forum...

[sos-math(21)]

Bonjour,
la matrice \(U{}^tU\) est la matrice 3x3 donnée en début d'énoncé.
On peut essayer de faire la même chose que sur la matrice faite en question 1, c'est-à-dire transformer les lignes pour faire apparaître le maximum de zéros et déterminer son rang.
Comme les coefficients sont des paramètres, cela mènera sûrement à des disjonctions de cas.
Bonne continuation

[Inès]

Merci beaucoup pour votre réponse.

Je pense qu'il faut distinguer les cas suivants :

1er cas : lorsque u=v=w=0
2ème cas: lorsque u est différent de 0
3ème cas : lorsque v est différent de 0
4ème cas : lorsque w est différent de 0

Est-ce que c'est bien ça ?

Par contre je n'arrive pas à répondre aux questions posées : déterminer Im T et Ker T... J'ai essayé de faire comme à la question précédente mais je n'y arrive pas...

Pourriez-vous me montrer un exemple pour le premier cas par exemple svp ? Comme ça je pourrai faire les autres cas toute seule.

Merci beaucoup par avance. Vous m'aidez bien et cet exercice me plaît !

[sos-math(27)]

Bonsoir Inès,
Je pense que c'est cela pour la disjonction de cas.

Bon, si \(u=v=w=0\), alors c'est trivial et il n'y a pas grand chose à dire.

Si par exemple \(u\) n'est pas égal à zéro alors : pour calculer ker T, on cherche à résoudre \(T \times \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}\)

Ce qui doit amener :
\begin{cases}
& u^2 x+uvy+uwz=0 \\
& uvx+v^2y+vwz=0 \\
& uwx+vwz+w^2z=0
\end{cases}
On pourra donc simplifier par \(u\) (différent de 0)
Il faut donc continuer la résolution,
je suis désolée, mais pour ce soir, c'est tout ce que je peux faire.
Tu peux aussi peut être demander à ton professeur une correction écrite puisqu'il ne s'agit que d'un exercice d'entrainement ?
Bon courage à toi pour la suite, et à bientôt sur le forum

[Inès]

Bonjour,

Merci beaucoup pour votre réponse.

J'ai réussi la 2.b seule.

Est-ce que vous pourriez m'aider pour la dernière question svp (2.c) ?

Comme ça je pourrai rendre à mon professeur demain matin ce que j'ai fait, j'espère qu'il aura le temps de corriger... J'espère aussi que vous aurez le temps de m'aider pour cette dernière question avant demain !

Comme ça j'aurai essayé toutes les questions...

Merci encore.

[sos-math(21)]

Bonjour
\({}^tUU=u^2+v^2+w^2\) qui est bien un réel positif et qui vaut 0 si et seulement si \(u=v=w=0\).
Comme tu as \(T=U{}^tU\) alors \(T^2=T\times T = U\times {}\underbrace{^tUU}_{=\lambda}\times {}^tU=\lambda U{}^tU=\lambda T\)
Bonne conclusion

[Inès]

Merci beaucoup, j'ai compris !

J'ai commencé à rédiger et c'est vraiment la question 2.a qui me pose problème.

Déjà, comment justifier les différents cas que j'ai distingués ?

Ensuite, je pense que je vais y arriver pour Ker T.

Par contre, pour Im T, je n'ai pas réussi à le rédiger. Pourriez-vous me montrer un exemple de rédaction dans un des 4 cas ?

Merci infiniment, j'apprécie beaucoup votre aide. Vous expliquez vraiment bien ! :)

Bonne soirée.

[Inès]

Pour Im T, j'ai écrit le système :

au² + buv + cuw = x
uva + bv² + cvw = y
uwa + vwb + w²c = z

Mais maintenant, quoi faire ?

Sachant que je vais rendre ce travail demain... :(

J'espère que vous aurez le temps de me répondre ce soir...