spé maths ts

[caramel76]

Bonjour, j'ai un exercice de spé auquel je ne comprends pas grand chose, serait-il possible de m'expliquer ?
Voici l'énoncé :
1) Indiquer quelles sont les restes de la division euclidienne de 2^n par 7 pour les 9 premières valeurs de l'entier naturel n

Voici donc le tableau avec mes résultats :

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8

reste 0 0 0 1 2 4 1 2 4

2) Conjecturer suivant les valeurs de n les restes possibles de la division euclidienne 2^n par 7
Les restes possibles sont donc 0 ; 1 ; 2 ; 4

3) Démontrer la conjecture émise
Là je ne vois pas comment faire, pourriez - vous m'éclairer ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
si tu calcules les restes de \(2^n\) par \(7\), tu obtiens comme valeurs cycliques : 1, 2, 4, 1, 2, 4,... mais pas 0 car il n'y a pas de puissance de 2 divisibles par 7.
Il faut ensuite faire une disjonction de cas selon la congruence de l'exposant modulo 3 (car cela revient tous les 3) :
si l'exposant est de la forme \(n=3p\), alors \(2^n=2^{3p}=\left(2^3\right)^p=8^p\), or le reste de 8 dans la division par 7 est .... donc le reste de \(8^p\) vaut .... ;
si l'exposant est de la forme \(n=3p+1\), alors \(2^n=\ldots\) ,....
si l'exposant est de la forme \(n=3p+2\), alors \(2^n=\ldots\) ,....
Bonne continuation

[caramel76]

Oh d'accord, merci beaucoup !

[caramel76]

Rebonsoir, alors voici ce que ça donne pour n=3p :
2n=2^3p=(2^3)^p=8p. Ainsi, le reste de la division de 8 par 7 est 1. Le reste de 8^p vaut donc p
Grâce à cela, on peut conjecturer les autres restes

[SoS-Math(9)]

Bonjour Caramel76,

ta conclusion est fausse …
2^n=2^3p=(2^3)^p=8^p. Or, le reste de la division de 8 par 7 est 1. Donc le reste de la division de 8^p par 7 vaut donc 1^p = 1.

Si n=3p+1, alors 2^n=2^(3p+1)=(2^3)^p \(\times\) 2^1 = 2\(\times\)(2^3)^p …. je te laisse terminer.

SoSMath.

[caramel76]

Rebonjour, alors avec n=3p+1 j'ai : 2^n=2^(3p+1)=(2^3)^p × 2^1 = 2×(2^3)^p= 4^3p = 64p . 64 c'est 9*7 +1 donc le reste est 1 pour la division de 8 par 7. Est-ce normal de retrouver 1 ?

[SoS-Math(31)]

Bonjour Caramel,
Attention : 2 * 2\(^{3p}\) n'est pas égal à 4\(^{3p}\) car le premier 2 n'est pas à la puissance 3p.
.

[caramel76]

Donc je peux faire quoi avec mon 2*2^3p ?

[SoS-Math(31)]

2 * [2\(^{3}\)] \(^{p}\) = 2 * 8\(^{p}\) .
As tu déjà vu les congruences ?

[caramel76]

C'est mon chapitre prochain :/ ... Avec 2*8^3 puis -je dire que c'et égal à 16p ? Dans ce cas là j'aurais : Le reste de la division de 16 par 7 est 2 donc le reste de la division de 16p par 7 est 2 p ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
si on admet que \((2^3)^p\) a pour reste 1 dans la division euclidienne par 7, alors \(2^{3p+1}=2\times (2^3)^p\) a pour reste \(2\).
C'est étonnant qu'on te demande de démontrer cela alors que tu n'as pas vu les congruences....
Bonne continuation

[SoS-Math(31)]

Bonsoir caramel,
Je pense que c'est pour comprendre la division euclidienne et les futurs calculs qui se cachent derrière la congruence. De plus tu apprécieras mieux l'efficacité de la congruence dans le prochain chapitre.
En attendant voici une explication :
8 = 7 * 1 + 1 donc 8 ^p = (7 +1) ^p = 7^p + ... + 1 . Dans les ..., il n'y a que des multiples de 7 donc 8 ^p = 7q + 1, r = 1 est bien compris entre 0 et 7 (non inclus) donc le reste de 1 .
2 * 8 ^p = 2 * 7 q + 2 avec 2 * q entier et r' = 2 compris entre 0 et 7 donc le reste est 2.