SOS-MATH

Bonsoir,

Je suis en Spé Maths et j'ai l'exercice suivant à faire.

Je dois déterminer A^k, pour k un entier naturel, où A est la matrice suivante :

\(A= \begin{pmatrix} 0 &0 &0 \\ 0&0 &-1 \\ 0& 1 &0 \end{pmatrix}\)

Je pense que je dois faire un raisonnement par récurrence. Est-ce que je suis sur la bonne voie ? Mais je n'arrive même pas à trouver une formule générale A^k que je pourrais prouver...

Merci pour votre aide.

Bonjour,
pour démarrer ce genre d'exercice, il est utile de commencer à calculer les premières puissances de matrices :
\(A^2=\begin{pmatrix} 0 &0 &0 \\ 0&-1 &0 \\ 0& 0 &-1 \end{pmatrix}\)
\(A^3= \begin{pmatrix} 0 &0 &0 \\ 0& 0&1 \\ 0& -1 &0 \end{pmatrix}\)
\(A^4=\begin{pmatrix} 0 &0 &0 \\ 0&1 &0 \\ 0& 0 &1 \end{pmatrix}\)
\(A^5= \begin{pmatrix} 0 &0 &0 \\ 0& 0&-1 \\ 0& 1 &0 \end{pmatrix}\) : on retombe sur \(A\).
Donc tu remarques que les coefficients vont revenir de manière cyclique en fonction de la puissance de la matrice : cela dépend du reste de la division de cette puissance par 4.
Je te laisse poursuivre le travail, bonne continuation.

Merci beaucoup pour votre réponse.

J'ai donc fait comme demandé des calculs au brouillon, mais je n'arrive pas à trouver une formule générale.

J'ai l'impression qu'il faut faire une disjonction de cas, non ? Mais laquelle faire ?

Je ne vois pas...

Merci beaucoup pour l'aide.

oui il faut faire une disjonction de cas à partir du reste de la division de la puissance \(n\) prise pour la matrice par 4.

à bientôt

Merci pour votre réponse.

Je dirais que si le reste est 1, alors A^n=A.

Si le reste est 0, alors A^n=-A.

Est-ce correct ? Mais je ne vois pas : comment faire pour les autres cas ?

J'espère que vous pourrez me répondre avant la fermeture du forum à 14h... Je dois rendre ce travail demain...

Merci.

Bonjour,
tu n'auras pas forcément toutes tes réponses en fonction de \(A\).
si \(n\equiv 0 \,[4]\), alors \(A^n=\begin{pmatrix} 0 &0 &0 \\ 0&1 &0 \\ 0& 0 &1 \end{pmatrix}=A^4\)
si \(n\equiv 1 \,[4]\), alors \(A^n=A\)
si \(n\equiv 2 \,[4]\), alors \(A^n=\begin{pmatrix} 0 &0 &0 \\ 0&-1 &0 \\ 0& 0 &-1 \end{pmatrix}=A^2\)
si \(n\equiv 3 \,[4]\), alors \(A^n=\begin{pmatrix} 0 &0 &0 \\ 0& 0&1 \\ 0& -1 &0 \end{pmatrix}=-A\)
Il s'agit bien de faire une disjonction de cas.
Bonne continuation

Merci beaucoup, maintenant c'est clair !

Et ensuite on montre tout cela par un raisonnement par récurrence ? Parce que j'en ai essayé un mais je n'ai pas réussi à montrer Pn+1, donc cela m'embête...

Pourriez-vous me montrer un exemple pour un des cas s'il vous plaît ? Ensuite je reproduirai pour les autres cas...

Merci encore pour toute votre aide.

Mon dernier message a-t-il été envoyé ?

Je ne suis pas sûre... J'essaye toujours de montrer toutes les disjonctions de cas par récurrence mais je n'y arrive pas...

Pourriez-vous me montrer un exemple de rédaction pour un des cas svp ? Je reproduirai ensuite pour les autres...

Je dois rendre ce travail demain, j'espère vraiment que vous pourrez me répondre avant 14h...

MERCI.

Bonjour,
il faut prouver par récurrence sur n entier naturel supérieur ou égal à 1 que :
\(A^{4n}=\begin{pmatrix} 0 &0 &0 \\ 0&1 &0 \\ 0& 0 &1 \end{pmatrix}\\
A^{4n+1}=A\\
A^{4n+2}=\begin{pmatrix} 0 &0 &0 \\ 0&-1 &0 \\ 0& 0 &-1 \end{pmatrix}=A^2,\\
A^{4n+3}=-A
\)
au rang n=1, c'est bon,
si on suppose que la propriété est vraie au rang \(n\) on va la prouver au rang \(n+1\) :
\(A^{4(n+1)}=A^{4n+4}=\underbrace{A^{4n}}_{\text{hyp de récurrence}}\times A^4=\begin{pmatrix} 0 &0 &0 \\ 0&1 &0 \\ 0& 0 &1 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 0 &0 &0 \\ 0&1 &0 \\ 0& 0 &1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 &0 &0 \\ 0&1 &0 \\ 0& 0 &1 \end{pmatrix}\)
Même chose pour les suivants : \(4(n+1)+1=4n+1+4\) donc \(A^{4(n+1)+1}=A^{4n+1}\times A^4=A\times A^4=A^5=A\)
On continue ainsi pour les autres....
Bonne continuation