Matrice

[Inès]

Bonsoir,

Je suis en Spé Maths et j'ai l'exercice suivant à faire.

Je dois déterminer A^k, pour k un entier naturel, où A est la matrice suivante :

\(A= \begin{pmatrix} 0 &0 &0 \\ 0&0 &-1 \\ 0& 1 &0 \end{pmatrix}\)

Je pense que je dois faire un raisonnement par récurrence. Est-ce que je suis sur la bonne voie ? Mais je n'arrive même pas à trouver une formule générale A^k que je pourrais prouver...

Merci pour votre aide.

[sos-math(21)]

Bonjour,
pour démarrer ce genre d'exercice, il est utile de commencer à calculer les premières puissances de matrices :
\(A^2=\begin{pmatrix} 0 &0 &0 \\ 0&-1 &0 \\ 0& 0 &-1 \end{pmatrix}\)
\(A^3= \begin{pmatrix} 0 &0 &0 \\ 0& 0&1 \\ 0& -1 &0 \end{pmatrix}\)
\(A^4=\begin{pmatrix} 0 &0 &0 \\ 0&1 &0 \\ 0& 0 &1 \end{pmatrix}\)
\(A^5= \begin{pmatrix} 0 &0 &0 \\ 0& 0&-1 \\ 0& 1 &0 \end{pmatrix}\) : on retombe sur \(A\).
Donc tu remarques que les coefficients vont revenir de manière cyclique en fonction de la puissance de la matrice : cela dépend du reste de la division de cette puissance par 4.
Je te laisse poursuivre le travail, bonne continuation.

[Inès]

Merci beaucoup pour votre réponse.

J'ai donc fait comme demandé des calculs au brouillon, mais je n'arrive pas à trouver une formule générale.

J'ai l'impression qu'il faut faire une disjonction de cas, non ? Mais laquelle faire ?

Je ne vois pas...

Merci beaucoup pour l'aide.

[sos-math(27)]

oui il faut faire une disjonction de cas à partir du reste de la division de la puissance \(n\) prise pour la matrice par 4.

à bientôt

[Inès]

Merci pour votre réponse.

Je dirais que si le reste est 1, alors A^n=A.

Si le reste est 0, alors A^n=-A.

Est-ce correct ? Mais je ne vois pas : comment faire pour les autres cas ?

J'espère que vous pourrez me répondre avant la fermeture du forum à 14h... Je dois rendre ce travail demain...

Merci.

[sos-math(21)]

Bonjour,
tu n'auras pas forcément toutes tes réponses en fonction de \(A\).
si \(n\equiv 0 \,[4]\), alors \(A^n=\begin{pmatrix} 0 &0 &0 \\ 0&1 &0 \\ 0& 0 &1 \end{pmatrix}=A^4\)
si \(n\equiv 1 \,[4]\), alors \(A^n=A\)
si \(n\equiv 2 \,[4]\), alors \(A^n=\begin{pmatrix} 0 &0 &0 \\ 0&-1 &0 \\ 0& 0 &-1 \end{pmatrix}=A^2\)
si \(n\equiv 3 \,[4]\), alors \(A^n=\begin{pmatrix} 0 &0 &0 \\ 0& 0&1 \\ 0& -1 &0 \end{pmatrix}=-A\)
Il s'agit bien de faire une disjonction de cas.
Bonne continuation

[Inès]

Merci beaucoup, maintenant c'est clair !

Et ensuite on montre tout cela par un raisonnement par récurrence ? Parce que j'en ai essayé un mais je n'ai pas réussi à montrer Pn+1, donc cela m'embête...

Pourriez-vous me montrer un exemple pour un des cas s'il vous plaît ? Ensuite je reproduirai pour les autres cas...

Merci encore pour toute votre aide.

[Inès]

Mon dernier message a-t-il été envoyé ?

Je ne suis pas sûre... J'essaye toujours de montrer toutes les disjonctions de cas par récurrence mais je n'y arrive pas...

Pourriez-vous me montrer un exemple de rédaction pour un des cas svp ? Je reproduirai ensuite pour les autres...

Je dois rendre ce travail demain, j'espère vraiment que vous pourrez me répondre avant 14h...

MERCI.

[sos-math(21)]

Bonjour,
il faut prouver par récurrence sur n entier naturel supérieur ou égal à 1 que :
\(A^{4n}=\begin{pmatrix} 0 &0 &0 \\ 0&1 &0 \\ 0& 0 &1 \end{pmatrix}\\
A^{4n+1}=A\\
A^{4n+2}=\begin{pmatrix} 0 &0 &0 \\ 0&-1 &0 \\ 0& 0 &-1 \end{pmatrix}=A^2,\\
A^{4n+3}=-A
\)
au rang n=1, c'est bon,
si on suppose que la propriété est vraie au rang \(n\) on va la prouver au rang \(n+1\) :
\(A^{4(n+1)}=A^{4n+4}=\underbrace{A^{4n}}_{\text{hyp de récurrence}}\times A^4=\begin{pmatrix} 0 &0 &0 \\ 0&1 &0 \\ 0& 0 &1 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 0 &0 &0 \\ 0&1 &0 \\ 0& 0 &1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 &0 &0 \\ 0&1 &0 \\ 0& 0 &1 \end{pmatrix}\)
Même chose pour les suivants : \(4(n+1)+1=4n+1+4\) donc \(A^{4(n+1)+1}=A^{4n+1}\times A^4=A\times A^4=A^5=A\)
On continue ainsi pour les autres....
Bonne continuation