état stable

[Cédric]

Bonjour,
je trouve tantôt le théorème 1, tantôt le théorème 2. Sont-ils équivalents ?
(je ne pense pas .... je pense que le théorème 2 implique le théorème 1 mais qu'on a pas forcément la réciproque).
Qu'en pensez-vous ?
Théorème 1 : pour tout graphe probabiliste "fortement" connexe à 2 ou 3 sommets, de matrice de transition M, il existe un unique état stable P=(x y) ou (x y z) solution de l'équation matricielle P*M=P.
Cet état stable est indépendant de l'état initial. Et si n tend vers l'infini, alors l'état probabiliste Pn tend vers l'état stable P.
Théorème 2 : pour tout graphe probabiliste d'ordre 2 ou 3 dont la matrice de transition ne comporte pas de 0, l'état Pn tend vers un état P indépendant de l'état initial P0.
P vérifie P=P*M et est appelé état stable.
merci !
C.

[Cédric]

Bonjour,
je comprends mon erreur de raisonnement (l'ensemble des graphes fortement connexes contient l'ensemble des graphes dont la matrice de transition ne comporte pas de 0).
Merci pour le reste.
Je viens de découvrir un autre souci.
En effet, si un graphe avait la matrice de transition M (avec 2 zéros sur la diagonale et des 1 ailleurs), il serait bien fortement connexe.
Et le thm 1 (trouvé dans le livre) vérifiant les bonnes hypothèses d'application admettrait comme état stable P=(0,5 0,5) si je résous P=P*M ce qui est contradictoire avec la limite de Pn qui n'existerait pas si l'état initial était différent de (0,5 0,5).
Bref, le thm1 n'est pas valable dans ce cas. N'est-ce pas ?
Merci d'avance de toutes vos précisions à venir,
C.

[sos-math(21)]

Bonjour,
j'ai supprimé mon précédent message car il comportait une erreur : confusion entre matrice d'adjacence et matrice de transition.
On est dans le cas des graphes probabilistes, donc des graphe orientés pondérés dont la somme des poids des flèches partant d'un sommet donné vaut 1.
Je te donne simplement une condition suffisante de convergence vers l'état stable : s'il existe une puissance de la matrice de transition qui ne comporte pas de 0, alors il y a convergence vers l'état stable.
Je m'interroge également sur la validité du théorème 1 et je ne comprends pas ce que vient faire la propriété de forte connexité dans le cas d'une matrice de transition (c'est pour cela que j'ai confondu avec matrice d'adjacence : la connexité est liée aux chemins reliant les sommets donc aux matrices d'adjacence.
Peux tu me donner la référence de l'ouvrage où tu as trouvé le théorème 1 ? L'exemple que tu avances semble invalider ce théorème car l'état stable étant (0,5 0,5), dès que l'on part d'un autre état initial par exemple (0,25 0,75), les états successifs sont alternativement (0,25 0,75) et (0,75 0,25) donc il n'y a pas de convergence vers un état stable.
Merci d'avance

[Cédric]

Bonjour,
le théorème trouvé dans le livre Déclic TES Hachette Education est exactement le suivant :
" Pour tout graphe probabiliste connexe à 2 ou 3 sommets de matrice de transition M il existe un unique état stable P=(x y) ou (x y z) solution de l''équation matricielle P*M=P.
Cet état stable est indépendant de l'état initial. Et si n tend vers l'infini alors l'état probabiliste Pn tend vers l'état stable P."
C'est moi qui ai rajouté "fortement" connexe pour dire qu'entre deux sommets il existe toujours un chemin "orienté" les reliant.
Mais, tout comme vous, avec le contre-exemple trouvé, ce théorème ainsi énoncé est bien faux, n'est-ce pas ?
Merci !
C.

[sos-math(21)]

Bonjour,
pour moi il s'agit bien d'une erreur sur les hypothèses.
D'ailleurs, entre l'édition de 2012 et celle de 2016, il n'y a plus cette formulation :
en 2012, ce que tu as :

en 2016, la nouvelle version plus proche des hypothèses habituelles :

Bonne continuation