Devoir maison Limite de suite démonstration par l'absurde

[Marina]

Bonjour, je suis bloqué sur un exercice, pourrait-on m'aider s'il vous plait?
On considere une suite (Un) de premier terme U0 = a (a>0) et vérifiant, pour tout entier naturel n, Un+1= Un^2/5. On a représenté ci-dessous dans un repère orthonormé la parabole d'équation y=x^2/5 et la droite d'équation y=x.
On admet que: "Si la suite (Un) converge vers un nombre réel l , alors l est solution de l'équation x^2=5x."
On suppose dans cette question que a>5
1/ Démontrer par l'absurde que la suite (Un) n'est pas majorée
2/ Quelle est la limite de la suite (Un)

Peut-on m'expliquer comment faire un raisonnement par l'absurde?

J'ai essayé ceci :
Supposons que la suite soit majorée. Etant croissante, on peut conclure qu'elle converge vers une limite finie L.
L=L^2/5
L=5
On a ainsi une contradiction.
La supposition de départ est donc absurde.
On en déduit que la suite de peux converger vers 5, étant donné qu'elle est croissante et que son rang initial est lui-même égal à5.
Et donc la suite Un n'est pas majorée par L.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Marina,

Le début de ton raisonnement est juste … c'est ta contradiction qui est fausse.
Supposons que la suite soit majorée. Etant croissante, on peut conclure qu'elle converge vers une limite finie L.
L=L^2/5
L=5 (ou 0)
On a ainsi une contradiction : ceci est faux ! Ici il n'y a pas de contradiction.
Tu as montré que (Un) est croissante et qu'elle converge vers 5.
Donc d'après un théorème du cours, pour tout n, Un \(\leqslant\) 5. Donc U0 \(\leqslant\) 5.
C'est ici qu'il y a une contradiction : on sait que U0 > 5 (contradiction avec U0 \(\leqslant\) 5).
Donc ton hypothèse "la suite est majorée" est fausse, donc la suite n'est pas majorée.

SoSMath.