DM Maths limite suites

[Florent]

Bonjour, (je me suis trompé de forum donc je remet l'exemplaire ici)

voilà, j'ai un dm de maths à rendre Lundi et je suis bloqué sur une question à l'allure simple mais qui ressemble à un véritable casse-tête pour moi !

Voici l'énoncé :

On considère une suite (Un), définie sur N dont aucun terme n'est égal à -3
On définie alors la suite (Vn) sur N par Vn=\frac{-2}{3+Un}

Ensuite il suffit de dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses et de le prouver par une démonstration. Dans le cas d'une proposition fausse, la démonstration consistera à fournir un contre exemple.
1) Si (Un) est convergente, alors (Vn) est convergente.
2) Si (Un) est minorée par 2, alors (Vn) est minorée par -1.
3) Si (Un) est décroissante, alors (Vn) est croissante.
4) Si (Un) est divergente, alors (Vn) converge vers zéro.

1. Si (Un) est convergente, alors (Vn) est convergente

-> Faux, contre exemple : Un=\frac{1}{3+n} convergente vers 0 et Vn=-2n tend vers -l'infini

2. Vrai
-1<= Un
3-1<= 3+Un
-2/(3-1)>=-2/(3+Un)
-1>=Vn

3. Faux
Contre-exemple : Un = 1/3+n décroissante , Vn = 2/3+Un est décroissante ?

4. Je n'en ai aucune idée...

Merci pour tout aide ! :D

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Florent,

Question 1 :
Ton contre exemple est faux … si \(U_n=\frac{1}{3+n}\) alors \(V_n=\frac{-2}{3+\frac{1}{3+n}}\neq -2n\)
Ici si Un converge vers \(l\), alors Vn converge vers \(\frac{-2}{3+l}\). LA question es de savoir si \(\frac{-2}{3+l}\) est toujours un réel …

Question 2 : tu as écrit
-1<= Un
3-1<= 3+Un
-2/(3-1)>=-2/(3+Un) ici tu vas trop vite … tu as effectué 2 transformations en même temps : passage à l'inverse puis multiplication par -2.
Recommence en écrivant les deux transformations, cela te permettra de trouver ton erreur.

Question 3 :
je ne comprends pas ton contre-exemple … (attention aux calculs)
Si (Un) est décroissante, alors pour tout \(n\), \(U_{n+1}<U_n\).
ensuite essaye de montrer que (Vn) est décroissante ou décroissante.

Question 4 :
Essaye avec \(U_n=(-1)^n\)

SoSMath.