Exercie complexe sur les complexes

[Alexis]

Bonjour,

Je suis bloqué sur un exercice dans lequel on considère une équation E a l'inconnue z qui est:
\(z^{3}\)+(-2\(\sqrt{3}\)+2i)\(z^{2}\)+(4-4i\(\sqrt{3}\))z+8i=0

J'ai trouvé que démontré que l'une des solutions a cette équation est -2i car cette valeur nous est donnée.
Egalement vérifie que cette équation était égale à (z+2i)(\(z^{2}\)-2\(\sqrt{3}\)z+4)

Mais il m'est demandé de résoudre l'équation dans l'ensemble des complexes, mais comment le faire?J'ai réussi a démontrer lorsque la valeur m'était donnée mais trouver la solution je ne sais pas comment faire, je suppose qu'il faut que je passe par le calcul du discriminant car je vois un polynôme mais il est du 3è degré, faut il donc le transformer pour obtenir un polynôme du second degré?

Merci d'avance

[SoS-Math(31)]

Bonsoir Alexis,
Si je comprends bien tu as montrer que
\(z^{3}\)+(-2\(\sqrt{3}\)+2i)\(z^{2}\)+(4-4i\(\sqrt{3}\))z+8i= (z+2i)(\(z^{2}\)-2\(\sqrt{3}\)z+4)
donc l'équation \(z^{3}\)+(-2\(\sqrt{3}\)+2i)\(z^{2}\)+(4-4i\(\sqrt{3}\))z+8i=0 équivaut à (z+2i)(\(z^{2}\)-2\(\sqrt{3}\)z+4) = 0
Tu as un produit nul donc un des deux facteurs est nul.
z + 2i = 0 ou z² - 2 \(\sqrt{3}\) z + 4 = 0
la première équation a pour solution - 2i, pour la second, c'est une équation du second degré, il faut donc calculer le discriminant puis en déduire les racines (éventuellement complexes si le discriminant delta est négatif).
As tu compris ?

[Alexis]

Je vais faire ça merci beaucoup pour l'aide.

[SoS-Math(31)]

Bonne continuation.

[Alexis]

Re-Bonjour
Un autre problème se pose a moi.
Je dois placer sur le cercle trigonométrique les point d'affixe -2i,\(\sqrt{3}\)+i et \(\sqrt{3}\)-i.
J'ai du les mettre sous forme exponentielle.Seulement pour obtenir l'argument de -2i je n'ai eu aucun problème mais pour les 2 autres je n'ai pas su faire.J'ai donc utilisé ma calculatrice avec la "fonction" Arg,qui sert a mesurer l'argument.Mais j'ai trouvé i et -i,ce ne sont pas des valeurs d'arguments.Et je suis bloqué pour continuer mon exercice.
Merci

[SoS-Math(31)]

Bonjour Alexis,
avant de chercher un argument teta de racine(3) + i, il faut chercher le module r
r² = a² + b² si z = a + bi
Vérifies que r = 2
puis cos(teta) = racine (3) / r = racine(3) / 2 et sin(teta) = 1/2
maintenant tu peux trouver teta.

[SoS-Math(33)]

Bonjour
pour les mettre sous forme exponentielle, il te faut aussi calculer le module.
\(a+ib =\rho(cos\theta + i sin\theta) = \rho e^{i\theta}\)

[Alexis]

Oui oui je sais qu'il me faut le module, il est égal a 2 pour les 3 points, ils sont inscrit dans le même cercle de rayon 2.Ce qui me manquait était l'argument.

[SoS-Math(33)]

Tu as donc
\(\sqrt{3}+i = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} +i\frac{1}{2})\)
ainsi tu peux trouver l'argument

[SoS-Math(31)]

Bonjour Alexis,
A l'aide du partie réelle er imaginaire tu trouves cos et sin des arguments de ton nombre complexe.
Si teta est un argument de racine(3) + i, tu as trouvé le module égale à 2 donc

cos(teta) = racine(3) / 2 et sin(teta) = 1/2

maintenant tu peux trouver un argument de racine(3) + i grâce au cercle trigonométrique.

As tu compris ?

[Alexis]

Oui merci,excusez moi du temps de réponse.
Merci beaucoup pour votre aide et a bientôt

[SoS-Math(31)]

Merci Alexis et à bientôt.