Suite spé maths dm

[Même]

Bonjour

C'est la suite de mon dm. C'est plutôt des problèmes de rédaction que je rencontre maintenant pour les questions suivantes :

2 c) démontrer que 10^3n -1 est divisible par 10^ n - 1
Je me suis aidé de la question précédente ( que j'ai sautée qui demandait de démontrer que a^3 - b^3 = (a -b)( a^2 +ab + b^2) ) mais je ne sais pas vraiment comment rédiger : je pensais factoriser pour pouvoir utiliser la définition de la divisibilité . Est ce bon ?

d) en déduire que le nombre entier naturel u3n ( en indice) est divisible par le nombre entier naturel u de n.
Là ce qui me gêne c'est le "en déduire" : je voulais utiliser la même méthode que 2c, je ne vois pas le lien !

e ) on admet que 10^2n +10^n + 1 est divisible par 3 ( nb : c'est l'entier que l'on trouve en factorisant dans 2c)
Démontrer que u3n ( en indice) est divisible par 3 un : là j'avoue que je suis complètement bloqué ...

3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n non nul , u de 3 puissance n est divisible par 3 ^n
Conclure
Je bloque au niveau de la conclusion : que dois en conclure par rapport à mon problème de départ (cf premier message que j'ai envoyé )??

Merci d'avance

Meme

[SoS-Math(7)]

Bonjour,

1) Tu appliques ta "formule" $a^3 - b^3 = (a -b)( a^2 +ab + b^2)$ pour $a=10^n$ et $b=1$. Tu as alors la factorisation et tu peux conclure.
2) Le "en déduire" vient du lien entre $u_n$ et $10^n-1 \ldots$ (voir le début de ton problème)
d) Écris $u_{3n}$ avec le lien entre $u_n$ et $10^n-1 \ldots$. Cela devrait te donner des idées.
3) Ton problème commence par 3 divise 111. Ici tu as démontré que 3 divise...

Bonne continuation.

[Meme]

Bonjour

Pour 2) c) OK je vois

d) je ne vois toujours pas désolé et je sens que cela peut me débloquer tout le raisonnement .
e) idem

3) je vois ce que vous voulez dire : j'ai démontré que 3 divise 111 et que u de 3^n est divisible par 3^n mais le problème est que je ne vois pas le lien entre les deux ???

Merci d'avance

Meme

[Meme]

Bonjour

Je crois que je viens de comprendre pour la 3 : si u de 3 puissance n est divisible par 3 puissance n, alors u de n est divisible par n non ??? Et donc le problème est résolu ??!!

Merci d'avance

Meme

[meme]

Bonjour

J'aimerais vraiment de l'aide....

1°Ok
2° Je ne vois vraiment pas désolé ....
3°Donc toujours pas...
4° 3^n divise u3^n donc n divise un ???

Merci d'avance

meme

[sos-math(27)]

Bonjour Meme,
Désolée du délais de réponse, en plus, j'ai beau relire le sujet, je n'arrive pas à bien comprendre à quoi correspondent $u_n$ et $u_{3n}$ par la même occasion.
Sinon, as tu bien en tête que si :
$u_n=10^{n-1}+10^{n-2}+...+10^1+1=\frac{1-10^{n}}{1-10}=\frac{10^{n}-1}{9}$

alors on aura : $10^{n}-1=9 \times u_n$ et donc $10^{n}-1$est bien divisible par 3 (et aussi par $3 \times u_n$ )!!

Je reste à l'écoute aujourd'hui. Si tu pouvais prendre en photo le texte de ton DM, cela me permettrai de mieux comprendre sans doute.
à bientôt

[Même]

Bonjour

Voilà mon dm .

[Meme]

Bonsoir

Pardon je me suis trompé de photo :) je vous l'envoie bientôt

Merci d'avance

Meme

[Même]

Bonsoir

Le voilà maintenant

[SoS-Math(31)]

Bonsoir Même,

Écris u3nu3n avec le lien entre unun et 10n−1…10n−1…. Cela devrait te donner des idées.

En fait si tu utilises a$^{3}$ - b$^{3}$,
10$^{3n}$ - 1 = (10$^{n}$ - 1) ( a² + ab + b²) et a² + ab + b² est un entier k donc 10$^{3n}$ - 1 = (10$^{n}$ - 1) k
alors 9 u$_{3n}$ = 9k u$_{n}$ ainsi u$_{3n}$ = k u$_{n}$

[SoS-Math(31)]

Nos mails se sont croisés. Avec le texte, ma réponse concerne la question 2 d). Puis la question e) :
l'entier k est égale à 10$^{2n}$ + 10$^{n}$ + 1 qui est donc divise par 3 ainsi u$_{3n}$ est divisible par 3 u$_{n}$

[Meme]

Bonsoir

Ma conclusion est donc juste : si u de 3 puissance n est divisible 3 puissance n alors u de n est divisible par n ?

Merci d'avance

Meme

[Meme]

Bonsoir

Merci pour votre réponse. J'avais compris cela en cherchant avec vos indications.

Meme

[SoS-Math(31)]

Je ne suis pas sûre d'avoir compris votre mail mais
3$^{n}$ divise 3$^{n}$ * 5 pour autant n ne divise par 5 !

[Meme]

Bonsoir

Je disais que si 3 PUISSANCE n divise u de ( 3^n) alors n divisait u de n ( cf l'intitulé de mon problème sur la photo, exercice 3 ) ??

Merci d'avance

Meme