SOS-MATH

Bonjour

j'ai des difficultés sur un dm de spécialité . l'énoncé est :
on se propose de démontrer qu'il existe une infinité de nombres entiers naturels dont l'écriture décimale est constitutée exactement de n chiffres 1 et qui sont divisibles par n
1. vérifier que 111 est divisible par 3
111= 37*3 ( je sais la justification )
2. n désigne un nombre entier naturel supérieur ou égal à 3
un (u de n ) est le nombre dont l'écriture décimale est constituée uniquement de 1 : un = 11...11 (n chiffres 1 )
a) démontrer que (10^n -1)/9 est un nombre entier naturel : j'ai une aide pour cette question : utiliser la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique mais je ne vois pas comment m'en servir... à part qu'il s'agirait d'une suite géométrique de raison 10??

Merci d'avance

Meme

Bonjour,

a) \(\frac{10^n -1}{9 }=\frac{10^n -1}{10-1}\) cela te permet-il d'avoir de nouvelles idées ? Pour t'aider, comment écrire le nombre \(u_n\) sous forme d'une somme de puissances de 10 ?

Je te laisse réfléchir.

Bonjour

C'est justement là que je bloque : on peut écrire 10^n + .... Je ne vois pas

Merci d'avance

Meme

Bonjour

Je ne vois toujours pas désolé... et je sens que ça va me débloquer : je pensais à 10^n + ??? je ne vois pas ce que je dois additionner ou même soustraire.

Merci d'avance

Meme

Bonjour Meme,
Comment peut tu écrire ta suite u_n ?
Sachant :
\(u_1=1\)
\(u_2=11=10+1=10^1+10^0\)
\(u_3=111=100+10+1=10^2+10^1+10^0\)

en généralisant, tu vois bien apparaître une suite géométrique ?
à bientôt

Bonsoir

Je viens de comprendre : on additionne à chaque fois les termes de la suite, ce qui explique pourquoi on obtient une somme !! Et de plus la suite est géométrique de raison 10

Merci beaucoup !!

Meme

Très bien Même.
Bonne soirée et bonne continuation