Spe Maths Dm

[Meme]

Bonjour

j'ai des difficultés sur un dm de spécialité . l'énoncé est :
on se propose de démontrer qu'il existe une infinité de nombres entiers naturels dont l'écriture décimale est constitutée exactement de n chiffres 1 et qui sont divisibles par n
1. vérifier que 111 est divisible par 3
111= 37*3 ( je sais la justification )
2. n désigne un nombre entier naturel supérieur ou égal à 3
un (u de n ) est le nombre dont l'écriture décimale est constituée uniquement de 1 : un = 11...11 (n chiffres 1 )
a) démontrer que (10^n -1)/9 est un nombre entier naturel : j'ai une aide pour cette question : utiliser la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique mais je ne vois pas comment m'en servir... à part qu'il s'agirait d'une suite géométrique de raison 10??

Merci d'avance

Meme

[SoS-Math(7)]

Bonjour,

a) \(\frac{10^n -1}{9 }=\frac{10^n -1}{10-1}\) cela te permet-il d'avoir de nouvelles idées ? Pour t'aider, comment écrire le nombre \(u_n\) sous forme d'une somme de puissances de 10 ?

Je te laisse réfléchir.

[Même]

Bonjour

C'est justement là que je bloque : on peut écrire 10^n + .... Je ne vois pas

Merci d'avance

Meme

[Meme]

Bonjour

Je ne vois toujours pas désolé... et je sens que ça va me débloquer : je pensais à 10^n + ??? je ne vois pas ce que je dois additionner ou même soustraire.

Merci d'avance

Meme

[sos-math(27)]

Bonjour Meme,
Comment peut tu écrire ta suite u_n ?
Sachant :
\(u_1=1\)
\(u_2=11=10+1=10^1+10^0\)
\(u_3=111=100+10+1=10^2+10^1+10^0\)

en généralisant, tu vois bien apparaître une suite géométrique ?
à bientôt

[Meme]

Bonsoir

Je viens de comprendre : on additionne à chaque fois les termes de la suite, ce qui explique pourquoi on obtient une somme !! Et de plus la suite est géométrique de raison 10

Merci beaucoup !!

Meme

[SoS-Math(31)]

Très bien Même.
Bonne soirée et bonne continuation