En effet, c'est la piste que je te donnais dans un précédent message, avec l'aide du début de la première partie de la première vidéo (que je t'invite à revoir...).
Tu peux par ailleurs remarquer que pour tout réel x non nul, (2x-1)/x² = 2/x - 1/x²... ce qui te permettra de trouver une primitive de y'/y.
Bonne recherche
sosmaths
Fonctions
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SoS-Math(34)
- Messages : 599
- Enregistré le : ven. 17 nov. 2017 09:31
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Léon
Re: Fonctions
Merci !
Je propose donc :
l'équation (E) admet pour solution les fonctions : x-> C*exp(-(2ln(x)+1/x)) avec C appartenant à R.
Est-ce que la question 1 de l'exo 2 est finie quand on a dit ça ? Cela me paraît bien court...
Merci !
Je propose donc :
l'équation (E) admet pour solution les fonctions : x-> C*exp(-(2ln(x)+1/x)) avec C appartenant à R.
Est-ce que la question 1 de l'exo 2 est finie quand on a dit ça ? Cela me paraît bien court...
Merci !
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Léon
Re: Fonctions
Bonsoir,
Voici un récapitulatif de là où j'en suis dans ces 2 exercices :
Exercice 1 :
1, 2, et 3 : OK.
4. Cette question me pose problème, j'ai, grâce à votre aide, 2 idées : Il faut calculer la limite de f^n(x) quand x tend vers 0 ? Soit la limite quand x tend vers 0 de l'expression de P^n (x)/x^(3n) exp (-1/x²) où Pn est un polynôme ? C'est ça qu'il faut faire ?
Ou il faut plutôt calculer la limite du taux d'accroissement de f^n(x) quand x tend vers 0, soit lim quand x tend vers 0 de [f^n(x)-f^n(0)]/x ?
Je suis vraiment perdu pour cette question 4... Et comment montrer que f est indéfiniment dérivable sur R à l'aide de la question 3 (c'est la première partie de la question 4) ?
5 et 6 : OK.
Exercice 2 :
1. Indiqué dans mon message de 22h58. Pourriez-vous le poster svp ? Est-ce qu'il n'y a que ça à répondre dans cette question ?
2. Par contre, aucune idée pour cette question, je ne la comprends pas...
Merci vraiment beaucoup pour l'aide !
Voici un récapitulatif de là où j'en suis dans ces 2 exercices :
Exercice 1 :
1, 2, et 3 : OK.
4. Cette question me pose problème, j'ai, grâce à votre aide, 2 idées : Il faut calculer la limite de f^n(x) quand x tend vers 0 ? Soit la limite quand x tend vers 0 de l'expression de P^n (x)/x^(3n) exp (-1/x²) où Pn est un polynôme ? C'est ça qu'il faut faire ?
Ou il faut plutôt calculer la limite du taux d'accroissement de f^n(x) quand x tend vers 0, soit lim quand x tend vers 0 de [f^n(x)-f^n(0)]/x ?
Je suis vraiment perdu pour cette question 4... Et comment montrer que f est indéfiniment dérivable sur R à l'aide de la question 3 (c'est la première partie de la question 4) ?
5 et 6 : OK.
Exercice 2 :
1. Indiqué dans mon message de 22h58. Pourriez-vous le poster svp ? Est-ce qu'il n'y a que ça à répondre dans cette question ?
2. Par contre, aucune idée pour cette question, je ne la comprends pas...
Merci vraiment beaucoup pour l'aide !
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sos-math(21)
- Messages : 10354
- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: Fonctions
Bonjour,
pour le calcul du nombre dérivée de \(f^{(n)}\) en 0, une récurrence peut être intéressante puisque dans la définition du taux d'accroissement en 0, tu réutilises la valeur de \(f^{(n)(0)}\) pour calculer \(f^{(n+1)(0)}\).
Pour ton équation différentielle, tu as ta forme générale des solutions sur l'intervalle ouvert \(]0\,;\,+\infty[\). Il s'agit ensuite de voir si on peut prolonger cette fonction par continuité en 0, ainsi que sa dérivée pour avoir une fonction continue et dérivable sur l'intervalle fermé \([0\,;\,+\infty[\).
Donc cela revient à faire un calcul de limite en 0 pour la fonction et sa dérivée.
Bonne continuation
pour le calcul du nombre dérivée de \(f^{(n)}\) en 0, une récurrence peut être intéressante puisque dans la définition du taux d'accroissement en 0, tu réutilises la valeur de \(f^{(n)(0)}\) pour calculer \(f^{(n+1)(0)}\).
Pour ton équation différentielle, tu as ta forme générale des solutions sur l'intervalle ouvert \(]0\,;\,+\infty[\). Il s'agit ensuite de voir si on peut prolonger cette fonction par continuité en 0, ainsi que sa dérivée pour avoir une fonction continue et dérivable sur l'intervalle fermé \([0\,;\,+\infty[\).
Donc cela revient à faire un calcul de limite en 0 pour la fonction et sa dérivée.
Bonne continuation
-
Léon
Re: Fonctions
Bonjour,
Merci pour votre réponse.
Pour la question 4, je suis désolé, mais je ne comprends vraiment pas pourquoi je devrais utiliser une récurrence... Pourriez-vous me montrer le début du calcul svp ?
Pour l'exercice 2, que doit-on trouver pour le calcul de limite ? Je ne suis pas sûr de bien comprendre pourquoi il faut faire ça...
Merci beaucoup...
Merci pour votre réponse.
Pour la question 4, je suis désolé, mais je ne comprends vraiment pas pourquoi je devrais utiliser une récurrence... Pourriez-vous me montrer le début du calcul svp ?
Pour l'exercice 2, que doit-on trouver pour le calcul de limite ? Je ne suis pas sûr de bien comprendre pourquoi il faut faire ça...
Merci beaucoup...
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SoS-Math(9)
- Messages : 6338
- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:10
Re: Fonctions
Bonjour Léon,
Pour faire une récurrence, il faut commencer par vérifier ta propriété au 1er rang (ici \(n=0\)).
Puis il faut supposer la propriété vraie au rang \(n\) et démontrer qu'elle est vraie au rang suivant (\(n+1\)) (hérédité).
Exercice 2
Peux-tu me donner les solutions y(x) trouvées à la question a) ?
Il faut déterminer les fonctions y(x) trouvées au a) qui ont une limite finie en 0.
SoSMath.
Pour faire une récurrence, il faut commencer par vérifier ta propriété au 1er rang (ici \(n=0\)).
Puis il faut supposer la propriété vraie au rang \(n\) et démontrer qu'elle est vraie au rang suivant (\(n+1\)) (hérédité).
Exercice 2
Peux-tu me donner les solutions y(x) trouvées à la question a) ?
Il faut déterminer les fonctions y(x) trouvées au a) qui ont une limite finie en 0.
SoSMath.
-
Léon
Re: Fonctions
Merci pour la réponse.
Je me dépêche car je sais que vous fermez à 14h, j'espère que vous serez là jusqu'à 14h pour que je termine ces 2 exercices...
Pour la question 4, voici mon début de réponse :
On pose l'hypothèse de récurrence pour tout entier naturel n : "f est dérivable en 0 et f^(n) (0)=0".
Initialisation :
Si n=0 : on a f^(0)(0)=0 donc
lim x-> O de [P^(0) (x)/x^(3*0) exp (-1/x²)-f^(0)(0)]/x = lim x-> O de [P^(0) (x)/1 exp (-1/x²)]/x = lim x-> O de [P^(0)(x) exp (-1/x²)]/x
or P^(0)(x)=1 d'après la question 3.
Donc = lim x-> O de [exp (-1/x²)]/x.
Et là j'ai un problème. J'ai essayé de poser X=1/x, mais ça ne fonctionne pas car on a le th des croissances comparées que pour x tend vers - infini et je ne sais que faire pour x tend vers + infini...
Comment faire alors ? Et que faire dans l'hérédité ?
Pour l'exercice 2 :
l'équation (E) admet pour solution les fonctions : x-> C*exp(-(2ln(x)+1/x)) avec C appartenant à R.
Et avec ça comment "déterminer les fonctions y(x) trouvées au a) qui ont une limite finie en 0" ?
MERCI !
Je me dépêche car je sais que vous fermez à 14h, j'espère que vous serez là jusqu'à 14h pour que je termine ces 2 exercices...
Pour la question 4, voici mon début de réponse :
On pose l'hypothèse de récurrence pour tout entier naturel n : "f est dérivable en 0 et f^(n) (0)=0".
Initialisation :
Si n=0 : on a f^(0)(0)=0 donc
lim x-> O de [P^(0) (x)/x^(3*0) exp (-1/x²)-f^(0)(0)]/x = lim x-> O de [P^(0) (x)/1 exp (-1/x²)]/x = lim x-> O de [P^(0)(x) exp (-1/x²)]/x
or P^(0)(x)=1 d'après la question 3.
Donc = lim x-> O de [exp (-1/x²)]/x.
Et là j'ai un problème. J'ai essayé de poser X=1/x, mais ça ne fonctionne pas car on a le th des croissances comparées que pour x tend vers - infini et je ne sais que faire pour x tend vers + infini...
Comment faire alors ? Et que faire dans l'hérédité ?
Pour l'exercice 2 :
l'équation (E) admet pour solution les fonctions : x-> C*exp(-(2ln(x)+1/x)) avec C appartenant à R.
Et avec ça comment "déterminer les fonctions y(x) trouvées au a) qui ont une limite finie en 0" ?
MERCI !
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sos-math(21)
- Messages : 10354
- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: Fonctions
Bonjour,
l'hypothèse de récurrence serait plutôt : \(f\) est \(n\) fois dérivable en 0 et \(f^{(n)}(0)=0\).
Donc au rang 0 il n'y a rien à faire car \(f^{(0)}=f(0)=0\) par construction de \(f\).
Ensuite on se place à un certain rang \(n\) et on suppose que \(f\) est \(n\) fois dérivable en 0 et \(f^{(n)}(0)=0\).
On calcule ensuite le taux d'accroissement en 0 : \(\dfrac{f^{(n)}(h)-f^{(n)}(0)}{h}=\dfrac{f^{(n)}(h)}{h}\) car \(f^{(n)}(0)=0\), par hypothèse de récurrence.
Il reste ensuite à considérer la forme de la dérivée n-ième de \(f\) : \(f^{(n)}(h)=\dfrac{P_n(h)}{h^{3n}}exp\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)\)
donc \(\dfrac{f^{(n)}(h)}{h}=\dfrac{P_n(h)}{h^{3n+1}}exp\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)\).
Avec les croissances comparées au voisinage de 0, on doit pouvoir prouver que ce quotient tend vers 0 lorsque \(h\mapsto 0\). On aura ainsi prouvé la propriété au rang \(n+1\).
Pour la question 2, il faut regarder la limite exp(-(2ln(x)+1/x)) lorsque \(x\) tend vers 0, ainsi que la limite de sa dérivée pour voir si ta fonction est bien de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \([0\,;\,+\infty[\)
Bonne continuation
l'hypothèse de récurrence serait plutôt : \(f\) est \(n\) fois dérivable en 0 et \(f^{(n)}(0)=0\).
Donc au rang 0 il n'y a rien à faire car \(f^{(0)}=f(0)=0\) par construction de \(f\).
Ensuite on se place à un certain rang \(n\) et on suppose que \(f\) est \(n\) fois dérivable en 0 et \(f^{(n)}(0)=0\).
On calcule ensuite le taux d'accroissement en 0 : \(\dfrac{f^{(n)}(h)-f^{(n)}(0)}{h}=\dfrac{f^{(n)}(h)}{h}\) car \(f^{(n)}(0)=0\), par hypothèse de récurrence.
Il reste ensuite à considérer la forme de la dérivée n-ième de \(f\) : \(f^{(n)}(h)=\dfrac{P_n(h)}{h^{3n}}exp\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)\)
donc \(\dfrac{f^{(n)}(h)}{h}=\dfrac{P_n(h)}{h^{3n+1}}exp\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)\).
Avec les croissances comparées au voisinage de 0, on doit pouvoir prouver que ce quotient tend vers 0 lorsque \(h\mapsto 0\). On aura ainsi prouvé la propriété au rang \(n+1\).
Pour la question 2, il faut regarder la limite exp(-(2ln(x)+1/x)) lorsque \(x\) tend vers 0, ainsi que la limite de sa dérivée pour voir si ta fonction est bien de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \([0\,;\,+\infty[\)
Bonne continuation
-
Léon
Re: Fonctions
Merci beaucoup !
Pour le raisonnement par récurrence je comprends.
Mais je ne comprends pas : je m'emmêle les pinceaux car il y a x et h dans votre égalité... Est-ce normal ?
Et pour les croissances comparées, je n'ai pas encore réussi... Car on ne connaît que lim x->-infini de x*exp(x)=0, et je ne vois pas comment l'utiliser...
Comment faire ?
Merci, j'espère que vous aurez le temps de répondre avant 14h...
Je réponds dans le message car je n'ai plus la fonction message après 14h.
Que ce soit x ou h, cela ne change rien : ce sont des variables muettes, tu peux donc mettre des \(x\) si c'est plus clair pour toi. L'important est de regarder la limite lorsque cette variable tend vers 0.
Pour la limite, tu as intérêt à faire un changement de variable en écrivant \(\dfrac{1}{x^{3n+1}}\times exp\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)=\dfrac{\left(\dfrac{1}{x^2}\right)^{\dfrac{3n+1}{2}}}{exp\left(\dfrac{1}{x^2}\right)}\) puis avec le changement de variable \(y=\dfrac{1}{x^2}\) puis regarder la limite de \(\dfrac{y^{\dfrac{3n+1}{2}}}{exp(y)}\) quand \(y\to +\infty\) ce qui fait 0 : l'exponentielle est plus forte que n'importe quelle puissance
Bon courage
Pour le raisonnement par récurrence je comprends.
Mais je ne comprends pas : je m'emmêle les pinceaux car il y a x et h dans votre égalité... Est-ce normal ?
Et pour les croissances comparées, je n'ai pas encore réussi... Car on ne connaît que lim x->-infini de x*exp(x)=0, et je ne vois pas comment l'utiliser...
Comment faire ?
Merci, j'espère que vous aurez le temps de répondre avant 14h...
Je réponds dans le message car je n'ai plus la fonction message après 14h.
Que ce soit x ou h, cela ne change rien : ce sont des variables muettes, tu peux donc mettre des \(x\) si c'est plus clair pour toi. L'important est de regarder la limite lorsque cette variable tend vers 0.
Pour la limite, tu as intérêt à faire un changement de variable en écrivant \(\dfrac{1}{x^{3n+1}}\times exp\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)=\dfrac{\left(\dfrac{1}{x^2}\right)^{\dfrac{3n+1}{2}}}{exp\left(\dfrac{1}{x^2}\right)}\) puis avec le changement de variable \(y=\dfrac{1}{x^2}\) puis regarder la limite de \(\dfrac{y^{\dfrac{3n+1}{2}}}{exp(y)}\) quand \(y\to +\infty\) ce qui fait 0 : l'exponentielle est plus forte que n'importe quelle puissance
Bon courage