spé maths devoir

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meme

spé maths devoir

Message par meme » sam. 21 sept. 2019 15:25

bonjour

j'ai un dm en spé maths à rendre pour mardi :
je vous donne l'énoncé : monter par récurrence que , pour tout entier naturel n , 6 divise 5n^3 +n

j'ai réussi les étapes d'initialisation et d'hérédité mais je bloque à la démonstration.

Initialisation : pour n=0
5x0^3 +0 = 0
6 divise 0
Donc la propriété est vraie pour n=0

Hérédité :

on Suppose la propriété vraie à un certain rang p , p appartenant à N , tel que 5p^3 + p = 6k
Démontrons que la propriété est vraie au rang p+1, c'est à dire 5(p+1)^3+p+1 = 6k

d'après une méthode que j'ai trouvée dans mon livre de spé, il faut faire apparaître 5p^3 +p dans l'expression de p+1 pour pouvoir le remplacer par 6k et factoriser.
j'ai donc fait 5(p+1)^3 +p+1 <=> 5p^3 +15p^2 +15p +5+p+1 <=> 6k +15p^2 +15p +6
mais je ne vois pas comment continuer ...

de plus ma prof de maths nous a donné une piste : question préliminaire pour faire l'exercice : montrer que la somme de deux entires consécutifs est un nombre pair. Mais je ne vois pas le rapport ...

merci d'avance
SoS-Math(25)
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Re: spé maths devoir

Message par SoS-Math(25) » sam. 21 sept. 2019 15:49

Bonjour,

C'est très bien, tu es presque à la fin.

Une erreur corrigée qui va t'aider :
meme a écrit :
de plus ma prof de maths nous a donné une piste : question préliminaire pour faire l'exercice : montrer que le produit de deux entires consécutifs est un nombre pair. Mais je ne vois pas le rapport ...
Tu as donc :

\(6k +15p^2 +15p +6\)

Il ne reste qu'à montrer que \(15p^2 +15p\) est un multiple de 6.

Factorise par 15p et tu verras apparaître l'aide de ton professeur.

A bientôt
meme

Re: spé maths devoir

Message par meme » sam. 21 sept. 2019 16:00

bonjour,

ah d'accord, je vois beaucoup mieux !
effectivement c'était bien une erreur de ma part

on a donc 15p^2 +15p multiple de 6
15p(p+1)

or si n est impair, le produit sera pair et si n est pair le produit sera également pair
Or comment dire que le produit d'un nombre pair avec 6 donnera bien un nombre multiple de 6 de manière mathématique ? je ne vois vraiment pas ...

merci d'avance
SoS-Math(25)
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Re: spé maths devoir

Message par SoS-Math(25) » sam. 21 sept. 2019 16:52

meme a écrit : Or comment dire que le produit d'un nombre pair avec 6 donnera bien un nombre multiple de 6 de manière mathématique ? je ne vois vraiment pas ...
Je ne comprends cette phrase et d'où elle vient.

p(p+1) est pair (j'ai l'impression que tu l'as démontré non ?)

Donc il peut s'écrire 2m avec m un nombre entier.

Ainsi :

\(15p(p+1) = 15\times 2m = 30m = 6\times 5m\) .... On a donc un multiple de 6.

Tu as donc en tout :

\(6k + 6\times 5m + 6\)

Soit tu sais que la somme de multiples de 6 sera encore un multiple de 6 (relativement simple à démontrer) soit tu factorises ton expression par 6.

Bon courage
meme

Re: spé maths devoir

Message par meme » sam. 21 sept. 2019 17:28

Bonjour

Merci beaucoup je vois beaucoup mieux , je me demandais juste comment j'allais le rédiger

Merci.
SoS-Math(25)
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Re: spé maths devoir

Message par SoS-Math(25) » sam. 21 sept. 2019 17:49

Bon courage
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