Suite sous forme de somme

[Meme]

Bonjour

J'ai un dm pour lundi qui contient comme consigne dans un des exercices :

1 j'ai réussi , il fallait démontrer que pour k> ou =2 (1/k^2) était inférieur ou égal à (1/k-1)- (1/k)

C'est à partir de là que ça bloque

2 Soit (un) la suite définie sur N* par un = somme pour k allant de 1 jusqu'à n, des (1/k^2)

a démontrer que pour tout entier n > ou = 1 , un < ou = 2- (1/n)

Merci d'avance ça me bloque un peu

[SoS-Math(9)]

Bonjour Meme,

Tu as montré que pour \(k \geq 2\), \(\frac{1}{k^2}\) \(\leq\)\(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\). Donc

pour k=2, \(\frac{1}{2^2}\) \(\leq\) \(\frac{1}{2-1}-\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\)
pour k=3, \(\frac{1}{3^2}\) \(\leq\) \(\frac{1}{3-1}-\frac{1}{3}\) = \(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\)
…
pour k=n, \(\frac{1}{n^2}\) \(\leq\) \(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\)

Il te reste à faire la somme de toutes ses inégalités.

SoSMath.

[Meme]

Bonjour Meme,

Il te reste à faire la somme de toutes ses inégalités.

SoSMath.

si j'ai bien compris, en additionnant ces inégalités, on retombe sur un sur la partie gauche de l'inégalité. mais est ce que l 'on obtient une somme à droite aussi ? Parce que je ne vois pas alors à quoi elle correspond...

merci d'avance

[SoS-Math(9)]

Meme,

En sommant les membres de gauche des inégalités tu trouves \(\frac{1}{2^2}\) + \(\frac{1}{3^2}\) + ... + \(\frac{1}{n^2}\) = \(u_n\) - 1.
Maintenant il faut sommer les membres de droite des inégalités \((\frac{1}{1}-\frac{1}{2})\) + \((\frac{1}{2}-\frac{1}{3})\) + ..+ \((\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n})\).
Cette somme se réduit … (essaye pour n =5, puis n=6, … tu vas observer ce qui se passe …)

SoSMath.

[Meme]

bonjour,

c'est bon j'ai trouvé, merci beaucoup !!

si on somme les termes à droite, on s'aperçoit qu'ils se simplifient : il ne reste à la fin que 1 -(1/n)
il suffit après d'ajouter 1 des deux côtés pour retrouver l'inégalité initiale.

merci beaucoup !!

[SoS-Math(9)]

C'est exactement cela !

A bientôt,
SoSMath.