SOS-MATH

Bonjour
Soit un triangle ABC et (d) l’ensemble des points M tel que MA²+MB²=2MC.
1°) Prouver que (d) est une ligne de niveau de M  MC²-MI², I milieu de [AB].
2°) Un point « remarquable » dans le triangle est sur (d). Lequel ?
En déduire (d).

1°) Théorème de la médiane :
MA²+MB²=2Mi² + AB²/2
………………………………………
On obtient : MC²-MI²= AB²/2
Donc (d) est la ligne de niveau AB²/2

2°) Dans un triangle il y a quatre points remarquables.
J’ai essayé le centre de gravité mais je n’ai rien obtenu ! Les calculs sont longs.
Ma question : Faut-il essayer au hasard les points ou bien y’a-t-il quelque chose qui nous guide pour choisir le point remarquable qui convient ?
Merci pour des réponses.

Bonjour Kad,

Je ne vois pas de point remarquable du triangle qui appartiennent à (d).
As-tu donné la bonne égalité MA²+MB²=2MC ?

SoSMath.

Oui tu as raison !
Je corrige:
MA²+MB²=2MC²

Bonjour Kad,

Avec cette modification tu peux montrer que (d) passe par le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

SoSMath.

Bonjour

Mais comment sait-on que (d) passe par le centre du cercle circonscrit au triangle ABC ?
Parce que tu as essayé les points remarquables un par un ou bien il y a quelque chose qui t'as guidé au centre du cercle circonscrit ?

Bonsoir Kadsos,

C'est la relation donnée qui permet de guider le travail :
à partir de l'égalité : \(2 {MI}^2+\frac{{AB}^2}{2}=2{MC}^2\)
je crois que tu as fait une petite erreur de calcul pour trouver \({MC}^2-{MI}^2\)

Ensuite, concernant les points remarquables, il n'y avait guère que le centre de gravité ou bien le centre du cercle circonscrit qui peuvent convenir, puisque pour l'intersection des hauteurs ou des bissectrices, il n'y a pas vraiment de relation avec les distances.

Il faut donc essayer en remplaçant M par le bon point et en prouvant l'égalité obtenue.
à bientôt

rebonsoir,

Pour prouver l'égalité, je pense qu'il faudra utiliser l'identité du parallélogramme :
si ABCD est un parallélogramme : \(AC^2+BD^2=2(AB^2+BC^2)\) https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A8gl ... A9logramme

Dans la situation de l'exercice (I milieu de [AB] et O centre du cercle circonscrit), beaucoup de distances sont égales, ce qui simplifie les calculs.
Tu vas pouvoir établir une relation entre OA², AB² et OI² et ainsi compléter tes calculs.
à bientôt