Calcul

[Nathan]

Bonsoir,

J'ai un travail de Maths à faire qui me pose problème.

Je dois montrer que :

1. \(\forall u \in[-1;1], 0 \leq e^{u}-1-u \leq e*\frac{u^{2}}{2}\).

Puis :

Pour x réel, on pose : \(\varphi (x) = \int_{0}^{1}{\frac{e^{-x(1+t^{2})}}{1+t^{2}}} dt.\)

2. a) Justifier que la fonction phi est définie sur R.
b) Soient x un réel fixé quelconque et h un réel fixé tel que : \(|h| \leq \frac{1}{2}\).

Montrer, à l'aide du résultat de la question 1, que :

\(|\varphi (x+h)-\varphi (x) + \int_{0}^{1}{h*e^{-x(1+t^{2})}dt}| \leq \frac{eh^{2}}{2} \int_{0}^{1}{(1+t^{2})*e^{-x(1+t^{2})}dt}\)

Mes pistes :

1. J'ai pensé à une étude de fonctions, mais est-ce la bonne méthode ?

2. a. C'est un argument sur la continuité ?

Merci par avance pour l'aide et bon dimanche.

[sos-math(21)]

Bonjour,
Pour cette inégalité tu peux effectivement faire deux études de fonctions pour obtenir l'encadrement :
- étudier la fonction \(f\) définie sur \([-1\,;\,1]\) par \(f(x)=e^{u}-1-u\) et montrer qu'elle est positive (on peut aussi s'en sortir avec la convexité mais je ne sais pas si tu as vu cette notion)
- étudier la fonction \(g\) définie sur \([-1\,;\,1]\) par \(g(x)=e^{u}-1-u-e\times \dfrac{u^2}{2}\). Il faut ensuite que tu démontres que la dérivée est strictement décroissante et s'annule en 0, ce qui te donnera son signe et te permettra d'obtenir les variations de \(g\).
Pour la question 2, c'est effectivement une histoire de continuité : pour toute valeur de \(x\), ton intégrande (la fonction sous l'intégrale) est une fonction définie et dérivable (quotient d'un polynôme et d'une exponentielle) donc elle est continue donc l'intégrale existe.
Bonne continuation

[Nathan]

Merci beaucoup pour votre réponse.

Est-ce la méthode la plus efficace ?

Certains de mes camarades ont utilisé un développement limité, avec l'égalité de Taylor...

Mais comment peut-on montrer l'inégalité avec un DL ?

Merci beaucoup.

[SoS-Math(25)]

Bonjour Nathan,

L'étude des fonction me semble plus simple à mettre en place. Effectivement, tu peux partir d'un développement de Taylor avec reste intégrale à l'ordre 2 si tu es à l'aise avec. La positivité sera simple à montrer puis il faudra quelques manipulations et majorations du reste intégrale pour montrer la majoration.

Bon courage

[Nathan]

Merci beaucoup pour l'aide !

Je vais donc essayer la méthode des fonctions, je vous dirai si j'ai réussi.

Mais j'aimerais tout de même comprendre la méthode utilisant un DL : on fait un DL de quoi précisément ? Et ensuite que regarde-t-on dans le DL ? Cela m'intéresse et j'aimerais comprendre...

Merci encore !

[SoS-Math(25)]

En fait, une formule de Taylor - Lagrange sera encore plus rapide :

On applique la formule de Taylor - Lagrange sur \(f(x) = e^x\) entre 0 et u avec n = 1.

Je te laisse regarder ton cours pour vérifier les hypothèses et appliquer la formule. Tu verras apparaître \(1 + u + ...\)

Il suffit ensuite de constater que \(e^x - 1 - u\) est positif et majorée.

A bientôt

[Nathan]

Merci, c'est plus clair maintenant !

Et pour la question 2.b, je ne vois pas du tout. Apparemment il faut utiliser le résultat de la question 1, mais que faire exactement ? Surtout que la 1 donne un résultat avec u compris entre -1 et 1 alors que l'on s'intéresse à la fonction phi...

Merci, je sens que je progresse !

[SoS-Math(25)]

Pour la 2a, il faut justifier que \(\phi\) existe pour tout \(x \in \mathbb{R}\). Effectivement, un argument de continuité et aussi de borne de l'intégrale peut servir...

Pour la 2b, Utilise la linéarité de l'intégrale puis passe au même dénominateur. Tu devrais voir apparaître après avoir factoriser :

\(\int_{0}^{1}{\frac{e^{-x(1+t^{2})}}{1+t^{2}}}\times (e^u - 1 - u) dt.\) Avec u à déterminer....

Bon courage

[Nathan]

Merci encore pour la réponse.

Pour la continuité, d'accord, j'ai compris, mais que faudrait-il dire sur les bornes de l'intégrale pour la 2.a ?

Pour la 2.b, j'utilise la linéarité de l'intégrale en partant de quelle expression ? Et ensuite, pour déterminer u, y a-t-il un lien entre u et la fonction phi ? J'imagine que oui, mais je n'ai pas encore réussi à trouver lequel...

Merci encore.

[SoS-Math(25)]

Pour la 2a, il faut justifier que \(\phi\) existe pour tout \(x \in \mathbb{R}\)...

(Continuité ? Intégration sur un segment ?)

Pour la 2b, Utilise la linéarité de l'intégrale puis passe au même dénominateur. Tu devrais voir apparaître après avoir factoriser :

\(\int_{0}^{1}{\frac{e^{-x(1+t^{2})}}{1+t^{2}}}\times (e^u - 1 - u) dt.\) Avec u à déterminer....

Il faut partir de :

\(|\varphi (x+h)-\varphi (x) + \int_{0}^{1}{h*e^{-x(1+t^{2})}dt}|\)

A bientôt

[Nathan]

D'accord !

Pour la 2.a, est-ce que ceci suffit : phi est définie pour tout x appartenant à R, car la fonction qui à t associe e^(-x(1+t^2))/(1+t^2) est continue sur [0;1] ? Est-ce que cela suffit ? Et comment justifier cela ?

Pour la 2.b, il y a la valeur absolue qui me gêne... Et comment obtenir le membre de droite de l'inégalité ?

Merci encore.

[Nathan]

Ensuite, la question 2.c est :

En déduire que phi est dérivable sur R, avec :

Pour tout x appartenant à R, phi ' (x)= - intégrale entre 0 et 1 de e^(-x(1+t^2)) dt.

J'ai essayé d'utiliser la formule du taux d'accroissement, mais sans succès...

Merci encore pour l'aide.

[SoS-Math(25)]

D'accord !

Pour la 2.a, est-ce que ceci suffit : phi est définie pour tout x appartenant à R, car, (pour tout x appartenant à R) la fonction qui à t associe e^(-x(1+t^2))/(1+t^2) est continue sur [0;1] donc intégrable sur [0,1]...

Pour la 2.b, il y a la valeur absolue qui me gêne... Et comment obtenir le membre de droite de l'inégalité ? (Commence sans la valeur absolue, elle n'est pas vraiment gênante il me semble....)

Merci encore.

[SoS-Math(25)]

Pour la 2c), il faut revenir à la définition du nombre dérivé par le taux d'accroissement :

\(\dfrac{\phi(x+h)-\phi(x)}{h}\) puis passer à la limite.

Divise chaque membre de l'inégalité par h dans la question 2b, tu verras apparaître ce toux d'accroissement :

\(|\dfrac{\phi(x+h)-\phi(x)}{h} - ....| \leq ....\) puis passe à la limite lorsque h tend vers 0. Attention aussi au signe de h...

A bientôt

[Nathan]

Merci, je vais regarder tout ça cet après-midi.

Et j'ai essayé le début de la partie 3 :

Calculer phi(0) et montrer que lim quand x tend vers + infini = 0.

Je n'ai pas encore eu d'idée... Faut-il utiliser les résultats précédents ?

Merci encore.