Suites

[Bosseurardent76]

Bonjour, comme promis j'ai encore un dm et j'aimerais savoir si ce que j'ai fais est correct.
Enoncé :
On suppose que la population d'une ville nouvelle, depuis sa création en 2015, augmentera chaque année de 5%.
En 2015, la ville comptait 500 habitants.
Soit (Un) la suite telle que Un représente le nombre d'habitants de cette ville en (2015+n)

1 a) Exprimez Un+1 en fonction de Un
J'ai fais : Un+1= Un+0.05Un
b) Quelle est la nature de la suite (Un) ?
J'ai répondu : (Un) est une suite géométrique.

2) Justifier que, pour tout entier naturel n : Un+1-Un = 0.05Un
J'ai mis : Un+1= Un+0.05Un
Un+1-Un =0.05 n car c'est comme une équation normale.

3) On décide maintenant de modéliser cette population par une fonction f dérivable sur [0; + /infinty[ vérifiant : f'=0.05f
f(t) est le nombre d'habitants en (2015+t)
Vérifiez que la fonction f définie sur [0;+ /infinty[ par f(t)= k*e^0.05t où k est une constante réelle, convient.

J'ai répondu : Nous cherchons à vérifier que : f est dérivable sur [0; /infinty[ et f'=0.05f
f(t)=k*exp(0.05t) convient car la fonction exponentielle est strictement positive puisque f(0)= 1, et la dérivée de la fonction exponentielle est elle-même.

4) Determinez la valeur de k.
J'ai fais : On sait que f(0)= k*exp(0.05)=500
k=500/exp(0.05)

Merci d'avance :)

[SoS-Math(9)]

Bonjour,

Pour la question 2, je ne comprends pas "équation normale" …
tu as Un+1= Un+0.05Un, donc en soustrayant Un dans les deux membres, on obtient Un+1- Un=0.05Un.

Pour la question 4, tu as oublié le "t" dans ta fonction … f(t) = k exp(0.05t), donc f(0) = k exp(0.05 x 0) = k.

SoSMath.

[Bosseurardent76]

Oui d'accord, le terme équation normale c'était juste pour illuster, merci beaucoup :)