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Antoine

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Message par Antoine » mar. 19 mars 2019 22:12

Bonsoir,

Je me pose une question : comment savoir, ou comment trouver rapidement que :

aX^3+bX^2+bX+a=(X+1)(aX^2+(b-a)X + a) ?

Je sais que le polynôme est factorisable par X+1, mais comment trouver l'autre facteur ?

Merci pour l'aide.

Bonne soirée.
SoS-Math(7)
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Re: Fonction

Message par SoS-Math(7) » mar. 19 mars 2019 22:51

Bonsoir Antoine,

\((-1)\) est une racine du polynôme. En effet, \((-1)^3a+(-1)^2b+(-1)b+a=-a+b-b+a=0\). Du coup, le polynôme est factorisable par \((X-(-1))\) soit par \((X+1)\).

Pour l'autre facteur, tu sais qu'il sera de degré 2, il est donc de la forme \(mX^2+nX+p\).

\(aX^3+bX^2+bX+a=(X+1)(mX^2+nX+p)=mX^3+nX^2+pX+mX^2+nX+p\)
\(aX^3+bX^2+bX+a=mX^3+(n+m)X^2+(p+n)X+p\)

On identifie les coefficients des deux formes du polynôme (on connait \(a\) et \(b\) et on cherche \(m\), \(n\) et \(p\))
\(\left\lbrace\begin{array}{rcl} m &=&a \\ n+m &=& b \\ p+n&= &b \\ p&=&a \end{array}\right. \iff \left\lbrace\begin{array}{rcl} m &=&a \\ n&=& b-a \\ p&=&a \\ n&= &b -a \end{array}\right.\)

Finalement on a la factorisation : \(aX^3+bX^2+bX+a=(X+1)(aX^2+(b-a)X+a)\)

Bonne continuation.
Antoine

Re: Fonction

Message par Antoine » mer. 20 mars 2019 20:04

C'est parfait, merci pour votre explication.
sos-math(21)
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Re: Fonction

Message par sos-math(21) » mer. 20 mars 2019 20:45

Bonsoir,
bonne continuation et à bientôt sur sos-math
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