Fonction
Fonction
Bonsoir,
Je me pose une question : comment savoir, ou comment trouver rapidement que :
aX^3+bX^2+bX+a=(X+1)(aX^2+(b-a)X + a) ?
Je sais que le polynôme est factorisable par X+1, mais comment trouver l'autre facteur ?
Merci pour l'aide.
Bonne soirée.
Je me pose une question : comment savoir, ou comment trouver rapidement que :
aX^3+bX^2+bX+a=(X+1)(aX^2+(b-a)X + a) ?
Je sais que le polynôme est factorisable par X+1, mais comment trouver l'autre facteur ?
Merci pour l'aide.
Bonne soirée.
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- Messages : 4001
- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:04
Re: Fonction
Bonsoir Antoine,
\((-1)\) est une racine du polynôme. En effet, \((-1)^3a+(-1)^2b+(-1)b+a=-a+b-b+a=0\). Du coup, le polynôme est factorisable par \((X-(-1))\) soit par \((X+1)\).
Pour l'autre facteur, tu sais qu'il sera de degré 2, il est donc de la forme \(mX^2+nX+p\).
\(aX^3+bX^2+bX+a=(X+1)(mX^2+nX+p)=mX^3+nX^2+pX+mX^2+nX+p\)
\(aX^3+bX^2+bX+a=mX^3+(n+m)X^2+(p+n)X+p\)
On identifie les coefficients des deux formes du polynôme (on connait \(a\) et \(b\) et on cherche \(m\), \(n\) et \(p\))
\(\left\lbrace\begin{array}{rcl} m &=&a \\ n+m &=& b \\ p+n&= &b \\ p&=&a \end{array}\right. \iff \left\lbrace\begin{array}{rcl} m &=&a \\ n&=& b-a \\ p&=&a \\ n&= &b -a \end{array}\right.\)
Finalement on a la factorisation : \(aX^3+bX^2+bX+a=(X+1)(aX^2+(b-a)X+a)\)
Bonne continuation.
\((-1)\) est une racine du polynôme. En effet, \((-1)^3a+(-1)^2b+(-1)b+a=-a+b-b+a=0\). Du coup, le polynôme est factorisable par \((X-(-1))\) soit par \((X+1)\).
Pour l'autre facteur, tu sais qu'il sera de degré 2, il est donc de la forme \(mX^2+nX+p\).
\(aX^3+bX^2+bX+a=(X+1)(mX^2+nX+p)=mX^3+nX^2+pX+mX^2+nX+p\)
\(aX^3+bX^2+bX+a=mX^3+(n+m)X^2+(p+n)X+p\)
On identifie les coefficients des deux formes du polynôme (on connait \(a\) et \(b\) et on cherche \(m\), \(n\) et \(p\))
\(\left\lbrace\begin{array}{rcl} m &=&a \\ n+m &=& b \\ p+n&= &b \\ p&=&a \end{array}\right. \iff \left\lbrace\begin{array}{rcl} m &=&a \\ n&=& b-a \\ p&=&a \\ n&= &b -a \end{array}\right.\)
Finalement on a la factorisation : \(aX^3+bX^2+bX+a=(X+1)(aX^2+(b-a)X+a)\)
Bonne continuation.
Re: Fonction
C'est parfait, merci pour votre explication.
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- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: Fonction
Bonsoir,
bonne continuation et à bientôt sur sos-math
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