DM Maths Terminale

[arthur]

Bonjour, voici un DM de mathématiques sur la récurrence, or la 2ème question de l'énoncé me pose problème.
J'ai réussi la premiere, si quelqu'un peut m'apporter son aide pour le 2).

On note n! le nombre 1*2*...*n pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1( n! se lit factorielle de n).
Montrer par récurrence que, quel que soit n non nul :
1/n! inférieur ou égal à 1/2n-1

2. En déduire que la suite (un) définie par 1/1! + 1/2! + ... + 1/n! est majorée, puis qu'elle est convergente.

[SoS-Math(34)]

Bonjour Arthur,

Je suppose qu'au 1), tu voulais écrire 1/(2n-1)? Si ça n'est pas le cas, précise le terme auquel tu veux comparer 1/n!.
A la deuxième question, la majoration de la somme Un, peut se faire en majorant chaque terme de ta somme par le terme de la question 1 (1/(2n-1) ? Es-tu sûr que ce n'est pas 1/[n(n-1)] = 1/[n²-n]?) puis en tentant de prouver que la somme des termes de cette nouvelle suite est elle même majorée…
Ensuite, étudie le sens de variation de la suite (Un).
Tu auras alors deux propriétés de (Un) te permettant de conclure que (Un) converge.

Bonne recherche
Sosmaths

PS : Sur ce site, une demande d'aide se termine habituellement par "merci"...

[arthur]

Bonjour, merci de ta réponse.
La fonction est enfaite 1/n! et 1/2^n-1 et non 1/2n-1.
Je dois donc modifier quelque chose dans le raisonnement ?
Merci.

[sos-math(21)]

Bonjour,
tu dois montrer par récurrence que \(\dfrac{1}{n!}\leqslant \dfrac{1}{2^{n-1}}\), c'est cela ?
C'est vrai pour n=1 car les deux membres valent tous les deux 1, donc l'inégalité est vraie.
Pour le passage du rang \(n\) au rang \(n+1\) (hérédité), il faut partir de l'hypothèse que l'on suppose vraie pour un certain rang \(n\geqslant 1\) :
\(\dfrac{1}{n!}\leqslant \dfrac{1}{2^{n-1}}\)
Pour avoir \(\dfrac{1}{(n+1)!}\) à gauche il faut multiplier par \(\dfrac{1}{n+1}\), on a donc :
\(\dfrac{1}{(n+1)!}=\dfrac{1}{n!}\times \dfrac{1}{n+1}\leqslant \dfrac{1}{2^{n-1}}\times \dfrac{1}{n+1} \)
Or \(n\geqslant 1\) donc \(n+1\geqslant 2\) donc \(\dfrac{1}{n+1}\leqslant \dfrac{1}{2}\).
Je te laisse conclure...
Pour la somme, il suffit de reprendre la proposition de ma collègue et de majorer chaque terme \(\dfrac{1}{k!}\) par \(\dfrac{1}{2^{k-1}} \)
Bonne continuation

[arthur]

Merci de ta réponse, mais c'est le petit 2) qui me dérangeait..
En effet je ne sais pas comment majorer :/

[sos-math(21)]

Bonjour,
tu as pour tout entier \(k\) : \(\dfrac{1}{k!}\) par \(\dfrac{1}{2^{k-1}} \)
donc au rang 1 :\( \dfrac{1}{1!}\leqslant\dfrac{1}{1}\)
donc au rang 2 : \(\dfrac{1}{2!}\leqslant\dfrac{1}{2^{2-1}} \)
donc au rang 3 : \(\dfrac{1}{3!}\leqslant\dfrac{1}{2^{3-1}} \)
...
donc au rang n : \(\dfrac{1}{n!}\leqslant\dfrac{1}{2^{n-1}} \)
si on fait la somme des termes à gauche et à droite, on a bien :
\(1+\dfrac{1}{2!}+....+\dfrac{1}{n!}\leqslant 1+\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{2^{n-1}}\)
à droite tu retrouves la somme des \(n-1\) premiers termes d'une suite géométrique de premier terme \(u_1=1\) et de raison \(q=\dfrac{1}{2}\)
C'est une formule que tu dois connaître...
Bonne continuation

[arthur]

J'ai appliqué la formule et j'ai obtenu cela ;
1*(1/2^n - 1)/ (1/2 - 1)
soit ;
-1/2^n-1 +1

Que dois-je faire avec ce résultat ?

[SoS-Math(34)]

Peux-tu majorer cette somme ? ...c'est-à-dire ici trouver une constante k tel que pour tout entier naturel n non nul :
-1/2^(n-1) + 1 < k (l'inégalité peut aussi être large).
Si oui, la somme Un du 2) sera alors aussi majorée par k.

Bonne recherche,
Sosmaths

[arthur]

j'ai montre tout a l'heure que 1/2^n-1 était inférieur a 1/2
Je pense donc que 1/2^n-1 + 1 est inférieur à 3/2 non?

[sos-math(21)]

Bonjour,
si tu as \(S_n=\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^n}{1-\dfrac{1}{2}}\) cela revient bien à avoir \(\dfrac{1}{2}\) au dénominateur donc à multiplier par son inverse 2 au numérateur.
Tu as donc \(S_n=2-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\).
Il faut être vigilant car tu soustrais la puissance 1/2 donc il faudrait la minorer, c'est à dire trouver un nombre \(k\) tel que \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\geqslant k\) car ensuite l'inégalité va s'inverser puisque tu soustrais cette valeur.
En fait le plus simple est de minorer par 0 donc ta somme sera inférieure ou égale à ...
Bonne continuation

[arthur]

Je comprends le raisonnement mais d'après la formule de la somme des termes, j'obtiens l'inverse.
En effet, au numérateur ; 1/2^n -1 et au dénominateur ; 1/2-1
Cela est-ce juste avant que je ne parte sur une base fausse ?

[SoS-Math(25)]

Bonjour Arthur,

\(\dfrac{4-3}{3-1}=\dfrac{3-4}{1-3}\)

De la même façon :

\(S_n=\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^n}{1-\dfrac{1}{2}} = \dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^n-1}{\dfrac{1}{2}-1}\)

A bientôt

[arthur]

Ah d'accord je comprends mieux!
Je dois donc minorer cela en faisant Sn inférieur ou égal à 0 c'est cela ?
Puis ensuite je construis un tableau de signes ?

[SoS-Math(25)]

Peut-être ai-je loupé une étape mais il me semble que tu dois majorer \(S_n\) pour finalement majorer \((u_n)\)

Non ?

[arthur]

Oui je suis d'accord mais comme je l'ai dis précédemment ; je ne sais ce que signifie majorer Sn..